DISPERSION DE RUTHERFORD

EXPERIMENTOS QUE MARCAN INICIO DE LA FISICA NUCLEAR (1) EXPERIMENTO DE RUTHERFORD ( 1911): Colisión elástica de partículas alfa con laminas de oro: : Descubriendo el Núcleo (2) EXPERIMENTO DE CHADWICK (1932): Descubrimiento del neutrón (reacción nuclear )

EXPERIMENTO DE RUTHERFORD α Partícula golpea lámina fina de oro y es dispersada o retro- dispersada debido a fuerza de coulomb : dispersión de Rutherford Blanco material (targets) Detector de partículas. Fuente de partículas (proyectil) Se suelen considerar tres fuentes de partículas: radiactividad, radiación cósmica y aceleradores de partículas

Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford Supuestos: 1 El modelo nuclear 2 Nucleo blanco fijo (no retroceso) 3 particula cargada puntual 4 Fuerza coulombiana solo 5 Dispersion elastica 6 Classical mechanics Coulomb force Coulomb force

F vf b mpvf ∆prad Φ mpvo ze α L = mvob r Ze parametro de impacto Los α se aproximan a una distancia de separacion del nucleo blanco : b ( parametro de impacto), y se dispersa en angulo q con respecto a su direccion inicial debido a la fuerza de coulomb.

The angle  changes from -(p-θ)/2 at t=- to (p-θ)/2 at t=+.

θ/2 θ/2 ⃗ ⃗ ⃗ θ θ θ

Cuando b decrece θ increases. Cuando To decrece b increases. La aproximación más cercana al núcleo, equivale a calcular la distancia mínima de la órbita hiperbólica que se produce por la fuerza repulsiva de Coulomb . La expresión de la aproximación mas cercana es : To θ b Cuando b decrece θ increases. Cuando To decrece b increases.

Límite para el retorno de dispersión : (b = 0 distancia de maxima aproximacion ) En el punto A(lejos del nucleo): V = 0 E(A)=To = ½mvo2 : l = mvob A vo B v b rmin A C d E( A) = E(C):

Determinar el radio del nucleo de 0ro cuando alfas de energía 5 MeV EJEMPLO : Determinar el radio del nucleo de 0ro cuando alfas de energía 5 MeV chocan sobre lamina de oro SOLUCION : Utilizando los datos en el diagrama ,la distancia de máxima aproximación para las partículas alfa de energía 5 MeV ( vo = 2×107 m/s): To = E k = 5 MeV = 5 x 10 6 x 1,6 x 10 -19 J = 8,0 x 10 -13 J (El radio real del núcleo es 7,3 fm ) El α no tienen suficiente energía como para penetrar a más de 45 fm del núcleo)

Luego b se puede expresar (para un proyectil z ) como: Para proyectil alfa (z = 2 ):

(La probabilidad de interaccion proyectil-blanco se asocia con la seccion transversal de colision σ o area efectiva para la colision La probabilidad de que una partícula pase por una distancia menor a b del nucleo es σ = π b²: 𝝦 b σ σ = π b² El área σ se llama una sección transversal La probabilidad de que la desviación quede comprendid entre los ángulos θ y θ + dθ es igual a la probabilidad de que el parámetro de impacto este comprendido entre b y b + db es dσ =2πb db θ

La probabilidad de que la desviación quede comprendida entre los ángulos θ y θ + dθ es igual a la probabilidad de que el parámetro de impacto este comprendido entre b y b + db es dσ =2πb db Haz de partículas alfas con To,inciden sobre blanco (nucleo) con diferentes parámetros de impacto “b”; una porción de alfas se desvían: son dispersadas θ DW = 2p sin θDθ Los proyectiles que atraviesan este anillo con area Dσ=2pbDb se dispersaran en intervalo angular θ equivale a los que son dispersados en un angulo solido DW =2p sinθ Dθ Dσ Db b σ Area = 2pbDb (Elemento de angulo solido ΔΩ entre θ y θ+dθ ) En esta situacion hablamos acerca de differential cross section:

En esta situacion hablamos acerca de differential cross section: Dσ = 2 p b Db ( m2 / núcleo .sr ) DW = 2p sinθ Dθ (I) dσ / dΏ, se utilizan para describir la distribución de las partículas dispersas. En esa direccion . Así pues, dσ es el área efectiva del núcleo blanco que dispersa una partícula en un cono, que tiene ángulo sólido dΏ en una dirección θ, donde θ se mide desde la dirección de incidencia del haz, UTILIZANDO LA RELACION b(θ) EN LA ECUACION I :

probabilidad de interaccion Seccion transversal differential para dispersion RUTHERFORD This is the famous Rutherford formula for the differential cross-section in Coulomb scattering.

Propiedades de la seccion eficaz transversal de Rutherford The cross-section decreases rapidly with increasing angle,θ, becomes infinite at θ= 0, is inversely proportional to the square of the incident particles kinetic energy, T, (4) is proportional to the square of the charge of the incident particle and of the target nucleus.

Supóngase que el haz de partículas incide perpendicularmente a una lamina delgada de un material de espesor ∆x que contiene n atomos /vol Calculemos la fraccion “f”=Ndisp/Ninc de particulas dispersadas en una determinada direccion θ. The cross section total : las particulas que estan scattered en todas direcciones ,se obtienen por σ =∫ d σ : (II )

SOLUCION Caso 60° Zau=79; Wau=197g/mol PROBLEMA: Un haz de particulas α del polonio ( To= 5,3 MeV),de una intensidad de 10000 partículas por segundo ,incide normalmente sobre una lamina de oro de densidad 19,3 g/cm3 y espesor 1*10 -5 cm. A 10 cm de distancia de la lamina se coloca un detector de partículas alfa ,con una apertura de 1cm 2 ,de tal manera que la dirección del haz de partículas forme un Angulo de θ grados con la recta que une el centro del detector con el punto de la lamina donde inciden las partículas. Calcúlese el numero de impulsos por hora registrados por el detector para θ=5,10,15,30,45,y 60° SOLUCION Caso 60° Zau=79; Wau=197g/mol d = 42,9 fermis

d 2 = 8* 10 -2 8 m 2 senθ/2= sen 60°/2= sen 30° , luego sen 4 30° =1/16 n = NAV ρ / W= ( 6*10 23 at/mol ) ( 19,3 g/cm 3 ) /197 g/mol)= 0,58*10 29 at /cm 3 ΔΩ = ΔA /R2 = 1cm 2/100cm 2 = 0,01 sr f = 8*10 -28 m 2 /nucl/sr)(0,58*10 29 at /cm 3 )(10E-5cm)( (0,01 sr) = f = Ndisp/No = 4,8*10 -2 Ndisp= 10 000 *4,8*10 -2 alfas /segundo= 4 alfas/hora

PROBLEMA :alfa-oro ZAu=79 ; ZHe=2 : For E=10keV ( 1,6 x10-15 J), espesor: 0,5 g/cm2 Determinar su Seccion transversal Diferencial para la Dispersion Rutherford : 90º = 3,97 *10-30 m2 /nucleo/sr ( barn→ m2 / nucleo ) 1 barn = 1.0 × 10-24 cm² b)Encontrar la fracción de particulas del haz que es dispersada en un ángulo de 90º al chocar en un detector que tiene un área de sección transversal de área de 2,0 cm2 y colocada a 10 cm del bloque dispersor; c) Si el haz tiene 106 particulas ,calcule el numero de particulas alfa que alcanza el detector ; c) determine el numero de particulas dispersados por el blanco

x= ? ∆ = dA / r2 = 2,0 / 10² = 0,02 sr N°nucl = ? f = Ndisp /Ninc =[3,97 *10-30 m2 / nucleo / sr] N°nucl x* [ 0,02 sr ] x= ? N°nucl = ? xm (g / cm2 ) * Ne- (e- / g) = (0,5 g / cm2 ) * (3* 1023 elec / g) = 1,5*1023 elec / cm2 .

xm (g / cm2 ) * Ne- (e- / g) = (0,5 g / cm2 ) * (3* 1023 elec / g) = 1,5*1023 elec / cm2 . ( Note que este resultado es :Δxe- ( e- /cm2 ) Δxm * N°e- = 1,5 * 10 27 elec / m2 f = [ do /d (90º) ] xm * Ne- [  ] f = 3,97*10-30 m2 /elec/sr ( 1,5*1027 elec/m2 ) (0,02 sr)= 1,19*10- 4 Nº de alfas dispersados al detector (en el ángulo solido) = 106 * 1,19 * 10-4 = 119 c) Nº total de particulas alfas dispersados :

Trabajemos cuantitativamente la formula de dispersion de Rutherford, let‘s considere disperssion a-oro: To = 1 MeV Charges of scattered objects ZAu = 79 za = 2 Universal constants e = 1,60×10-19 C e0 = 8,85×10-12 Fm-1 En lugar de sustituir here the mass and velocity of the incoming a, we may use its kinetic energy … mv2 =2 Ek A typical kinetic energy of θ from an radioactive source is about 1 MeV = 1,60×10-13 J. ¿ Cual es la probabilidad para que la particula a sea deflectada por angulo mayor que 1 °?

¿ Cual es la probabilidad para que la particula a sea deflectada por angulo mayor que 1 °? Substitution σ θ≥1o = 5,33x10-22 m2

El efecto de la interacción nuclear a cortas distancias!!! EVALUACION DE LOS SUPUESTOS NO considera el retroceso nuclear (Blanco fijo ): esto se puede evitar mediante la transformación del centro-de-masa de la colisión. La fórmula es la misma pero el T eficaz es ahora la energía cinética total en esa referencia y el ángulo de dispersión y de la sección transversal diferencial se aplican en ese marco 2. El enfoque clásico de la órbita: un simple enfoque de la mecánica cuántica utilizando la aproximación de Born da la misma respuesta 3. The point-like charges: datos de núcleos pesados ​​(blancos Au, Ag, Cu ) son todos consistentes con la fórmula Rutherford. Usando blancos de varios núcleos ligeros ( por ejemplo , Al ) desviaciones de la fórmula de Rutherford fueron encontrados El efecto de la interacción nuclear a cortas distancias!!!

4. Ausencia de otras fuerzas : EVALUACION DE LOS SUPUESTOS (CONTINUED) 4. Ausencia de otras fuerzas : Fuerzas nucleares de corto alcance y el efecto magnético ( debido al spin ) están presentes 5. Elastic scattering: Las partículas α-utilizados por Rutherford no fueron lo suficientemente enérgetica para provocar un importante número de colisiones inelásticas. Por colisión inelástica significa que uno o ambos de las partículas involucradas en el caso de colisión se excita o se desintegran. Después de Rutherford, fuentes artificiales de más energia de α-partículas estaban disponibles y estos sin duda puede causar colisiones inelásticas. 6. Relativistic effect: Si las partículas entrantes son enérgicos suficiente el efecto relativista no debe ser pasado por alto.

Solución:  

LOS CONSTITUYENTES NUCLEARES Notation used to represent a given nuclide Z: atomic number A: atomic mass number N: neutron number X: chemical symbol M: the mass of a specific atom MH: the mass of a hydrogen atom

DEL DESCUBRIMIENTO DEL NEUTRÓN PROTONES Y NEUTRONES En un primer nivel de aproximación , los núcleos están compuestos de nucleones (protones y neutrones). INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DEL DESCUBRIMIENTO DEL NEUTRÓN Antes de que Chadwick (1932) descubriese el neutrón, había cierta incertidumbre sobre los componentes nucleares: “Un núcleo con una carga eléctrica +Z tenía aproximadamente un peso de 2*Z veces el peso de un protón”.

Se podría pensar que un núcleo se compone de A protones y N electrones Se podría pensar que un núcleo se compone de A protones y N electrones . Este argumento podría explicar la β-radiactividad Esto esta mal!! . Si se considera el núcleo del átomo de helio. En este modelo será 4 protones y 2 electrones ocupan un volumen de medio lineal de alrededor de 2 fermis electron Rason 1 From the uncertainty principle Para un electron confinado en una region of 2 fermis its momentum is roughly

NO HAY ELECTRONES EN EL NUCLEO !! DONDE Te es la energia cinetica del electron Electrones con energias cineticas del orden de 49 MeV deben permanecer ligados solo si hay un pozo de potencial al menos tan profundo . Este pozo de potencial tendria efectos sobre la espectroscopia optica del helio que no existen. NO HAY ELECTRONES EN EL NUCLEO !!

Rason 2 Otra razón por la que es imposible para los electrones permanecer en un núcleo. Cuando (A-Z) resulta ser un número entero impar la predicción del modelo de momento angular total del núcleo no está de acuerdo con las observaciones

Consideremos el deuteron Posibles spines del deuteron Ejemple A = 2, and Z = 1 Modelo: There should be 2 protones y un electron. Dos protones un electron Posibles spines del deuteron Pero en la actual el spin del deuteron is medido Ademas, si fuese un p y un n c/u con ½ de spin coincide con el valor experimental .

Geiger-Marsden Data on Alpha Scattering Geiger y Marsden mostró que el número de alfas dispersadas en función del ángulo de dispersión era consistente con un núcleo pequeño , concentrado positivamente . Para ángulos superiores a 140 grados, el núcleo aparece como una carga puntual positiva, por lo que estos datos no midió el tamaño de los núcleos. Cuando la dispersión se apartó de la prevista en la ley de Coulomb, se puede inferir que otra fuerza estaba entrando en juego

2) EL EXPERIMENTO DE CHADWICK (1932): Descubrimiento del neutron

DEL DESCUBRIMIENTO DEL NEUTRÓN PROTONES Y NEUTRONES En un primer nivel de aproximación , los núcleos están compuestos de nucleones (protones y neutrones). INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DEL DESCUBRIMIENTO DEL NEUTRÓN Antes de que Chadwick (1932) descubriese el neutrón, había cierta incertidumbre sobre los componentes nucleares: “Un núcleo con una carga eléctrica +Z tenía aproximadamente un peso de 2*Z veces el peso de un protón”.

¿? 12C PROTONES Y NEUTRONES CUESTIÓN [1] - ¿Cómo explicar esto? ¿Se nos ocurre qué modelo se pudo proponer en la época para explicar el porqué los núcleos tenían el doble de peso o la mitad de la carga esperada? (sin recurrir al neutrón , claro) ... EJEMPLO : NÚCLEO CARBONO-12 CARGA = +6 ( Z del Carbono = 6) MASA = UNAS 12 VECES LA MASA DE UN PROTÓN 12C ¿?

PROTONES Y NEUTRONES SOLUCIÓN [1] --------------------------------------- [Por ejemplo : El 4He , con Z = 2, tendría 4 protones y 2 electrones en su núcleo] Tenía la ventaja de explicar el porqué algunos núcleos emitían electrones (Desintegración beta) Sin embargo, este modelo tenía graves inconvenientes... El modelo inicialmente propuesto consistía en: Un núcleo con carga +Z estaba formado por 2*Z protones (justificando la masa) y Z electrones (con masa despreciable frente a los protones y compensando la carga).

PROTONES Y NEUTRONES Inconvenientes de un modelo nuclear con protones y electrones: EN EFECTO, Suponga aplicar el principio de incertidumbre a los e- libres en el núcleo : Δx Δp ≈ h Imprecisión en posición de e- en el núcleo : Δx ≈ 2x10-14 m Imprecisión de Δp ≈h/ Δx ≈6,6x10 -27/10 -12 =3,3 x10 -15 erg-s/cm. Para calcular la energía del e- dentro núcleo ,se usa : E2 =pe 2 c 2 +mo c 4 Suponiendo que los valores del pe no es mayor que los valores hallados para la incertidumbre Δp ,luego, pe ≈ Δp . E ≈ 10 -8 ergs.= 60 MeV (experimentalmente los e- (beta) emitidos por núcleos no tienen ese valor) A )- Las energías de los electrones que se habían observado que surgían del núcleo tenían una energía del orden de 1MeV  Tenían un momento P demasiado alto para estar localizados en una región (el núcleo) tan pequeña. [Por el principio de incertidumbre]. E2 = 10 -12 + 10 -8

PROTONES Y NEUTRONES por dos núcleos de 14N, mostró que: B ) - El espectro molecular de la molécula de N2 formada por dos núcleos de 14N, mostró que: la función de onda nuclear no dependía del intercambio de un núcleo por otro  Tenía una función de onda total nuclear simétrica  Tenía un J total nuclear entero  J (14N) es entero Dado que J = L + S y que L es entero  J es entero sólo si el S lo es. En un modelo con 14 protones y 7 electrones (21 partículas de spin = ½ ) el spin total del 14N sería semi entero. En cambio, con un modelo con 14 partículas (7 protones y 7 neutrones) de spin=1/2, el spin sí será entero (verificando asi que J(14N) es entero) C)- Momentos magneticos 14N

PROTONES Y NEUTRONES Por tanto... En este nivel de aproximación los núcleos están formados por protones y neutrones.

SECCIÓN EFICAZ DE DISPERSIÓN La dispersión de un flujo de partículas se caracteriza por la sección eficaz elemental σ diferencial. σ se define como la razón del número de partículas dNdisp por unidad de tiempo, en el ángulo sólido dΩ, a la densidad de flujo Jinc de las partículas incidentes, es decir, la sección eficaz diferencial se define por la relación dS es un elemento de super.cie perpendicular al vector de posición, vector cuyo origen coincide con el centro dispersor y forma el ángulo Ө ,( dS = r² dΩ)

dS Es la densidad de flujo de particulas dispersadas a grandes distancias del centro dispersor , Jinc y Jdisp son las densidades de flujo de probabilidad. Integrando sobre todos los angulos obtenemos:

DISPERSIÓN DE RUTHERFORD Teoria de dispersion elastica y seccion eficaz de Rutherford Dispersión es la desviación de las partículas respecto de la dirección inicial del movimiento, provocada por la interacción con un cierto sistema que se llamará dispersor. Haz de particulas a, La particula a de momento se mueve en la direccion Z , se describe mediante onda plana cion

La densidad de corriente incidente ( Jinc) esta dado por: Si particulas pasan cerca del blanco dispersor ,se someten a la ccion de fuerzas nucleares desviandose.La dispersion de estas particulas lejos del centro dispersor se representa como una onda esferica divergente Recuerde E.Schringer y solucion parte radial ,para particulas libres a grandes distancias del origen .Siendo su funcion de onda completa:

La intensidad (probabilidad )de dispersion ,no es necesariamente la misma en todas direcciones dependiendo en general del angulo θ que la direccion de dispersion forma con el eje z: f(θ) se denomina AMPLITUD DE DISPERSION. La funcion de onda total debe tener a grandes distancias la forma asintotica : El flujo de particulas dispersadas a traves de la superficie dS por unidad de tiempo es:

DISPERSIÓN CUÁNTICA

Sabemos que el potencial esta dado por:

Luego de reemplazar el potencial en (24) obtenemos: Calculando el integral Usando (22), tenemos:

La energía cinética de la partícula es: Remplazando la energía de la partícula: Esta es la sección eficaz diferencial de la dispersión de Rutherford.