Ley de Fourier en forma vectorial Si aceptamos que el flujo de calor es una cantidad vectorial, es posible escribir un planteamiento mas general de la ecuacion de conduccion (ley de Fourier) como sigue: donde  es el operador nabla tridimensional y T(x,y,z) es el campo escalar de temperaturas. Esta implicito en la ecuacion que el vector de flujo de calor se encuentra en una direccion perpendicular a las superficies isotermica

EL flujo de calor en coordenadas cartesianas donde q" es el flujo de calor en una direccion n. que es normal a una isoterma, como se muestra en el caso bidimensional de la figura La transferencia de calor se sostiene por un gradiente de temperatura a lo largo de n Note tambien que el vector de flujo de calor se resuelve en componentes de modo que, en coordenadas cartesianas, la expresion general para qn es Entonces,

Direccion del flujo de calor Cada una de estas expresiones relaciona el flujo de calor a través de una superficie con el gradiente de temperatura en una dirección perpendicular a la superficie. También esta implicito en la ecuación de calor normal que el medio en el que ocurre la conducción es isotrópico. Para este medio el valor de la conductividad térmica es independiente de las direcciones coordenadas.

Coeficientes de Conduccion Se sigue que. para un gradiente de temperatura establecido, el flujo de calor por conducción aumenta con el incremento de la conductividad termica. Recordando el mecanismo físico asociado con la conducción , se tiene que, en general, la conductividad termica de un solido es mayor que la de un liquido, que a su vez es mayor que la de un gas la conductividad termica de un solido puede ser mas de cuatro ordenes de magnitud mas grande que la de un gas.

Ecuacion de Difusion Termica Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de temperatura en un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronteras. Es decir, deseamos conocer la distribución de temperaturas, que representa como varia la temperatura con la posición en el medio. Una vez que se conoce esta distribución, el flujo de calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la ley de Fourier.

Volumen de Control para Ecuacion de balance de Energia Para un solido, el conocimiento de la distribución de temperaturas sirve para comprobar la integridad estructural mediante la determinación de los esfuerzos térmicos, sus expansiones y deflexiones.

Expansion en Serie de Taylor Las velocidades de transferencia de calor por conduccion perpendiculares a cada una de las superficies de control se indican con los terminos qx, qy y qz, respectivamente. Las velocidades de transferencia de calor por conducción en las superficies opuestas se expresan como una expansion en senes de Taylor donde, dejando de lado terminos de orden superior.

Energia generada y almacenada Dentro del medio también puede haber un termino de fuente de energía asociado con la velocidad de generación de energía térmica. Este termino se representa como donde q es la rapidez a la que se genera energía por unidad de volumen del medio (W/m3). Además, pueden ocurrir cambios en la cantidad de la energía térmica interna almacenada por el material en el volumen de control. El termino de almacenamiento de energía se expresa como

Balance de Energia Sobre una base de rapidez, la forma general del requerimiento de conservación de la energía es Asi, al reconocer que las velocidades de transferencia de calor por conduccion constituyen el flujo entrante de energia, y el flujo de salida, Esalida

Ecuacion de Conduccion en 3 dimensiones Sumando los terminos de flujo de entrada de calor por conduccion y flujos de salida, mas los terminos de Energia generada por unidad de volumen mas Energia almacenada por unidad de tiempo y de volumen:

Flujos de calor en Ecuacion de energia En la ecuacion tenemos que evaluar los terminos de flujo de calor qx en funcion de la conductividad y los gradientes de temperatura en las tres direcciones (x,y,z):

Ecuacion de Energia (conduccion) donde cada componente de flujo de calor de la ecuacion de energia se multiplica por el area de la superficie (diferencial) de control apropiada para obtener la rapidez de transferencia de calor Al sustituir las ecuaciones para el calor en la ecuacion de la energia y dividir las dimensiones del volumen de control (dx dy dz), obtenemos

Ecuacion de Calor (coordenadas cartesianas)

Condiciones de Frontera

Continuara.. Gracias por su atencion Buen dia