Razones Trigonométricas de ángulos agudos

Razones Trigonométricas de ángulos agudos TRIÁNGULO RECTÁNGULO Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es recto (90°), los otros dos son agudos. Llamaremos catetos a los lados que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a ese ángulo. En la figura mostrada: c : hipotenusa a ˆ b : catetos α ˆ β : ángulos agudos Además en el triángulo rectángulo se cumple que: a2 + b2 = c2 c > a ˆ b α + β = 90° β α c a b

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo. Si en el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de α del modo siguiente: c a b β α

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZÓN TRIGONOMÉTRICA α Hipotenusa Cateto opuesto Hipotenusa Cateto opuesto senα = cscα = Hipotenusa Cateto opuesto Hipotenusa Cateto adyacente Hipotenusa Cateto adyacente cosα = secα = Cateto adyacente Cateto opuesto Cateto adyacente Cateto opuesto tgα = ctgα = Cateto adyacente

Razones Trigonométricas de ángulos agudos Ejempl0 1 Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m. Solución Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones. α 5 3 4

Razones Trigonométricas de ángulos agudos Ejempl0 2 Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Halla las razones trigonométricas del mayor ángulo agudo. Solución Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos: α 8 15 17

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES Considerando los siguientes triángulos: 45° Se obtiene: R.T 30° 37° 45° 53° 60° sen 1/2 3/5 4/5 cos tg 3/4 1 4/3 ctg sec 5/4 5/3 2 csc 30° 60° 37° 53°

Razones Trigonométricas de ángulos agudos EJERCICIOS PARA LA CLASE 01. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B); calcular: E = 2tanA.tanC + 3cosA.cscC   02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C); reducir: 03. En un triángulo rectángulo, los lados de menor longitud miden 2 y 3cm. Si el mayor de los ángulos agudos mide “”; calcular: 04. En un triángulo rectángulo ABC recto en A se sabe que: b + c = 14 y senB.senC = 0,48. Calcular la longitud de la hipotenusa. 05. En un triángulo ABC (B = 90º), se sabe que: secA = 2,6. Si el perímetro del triángulo es 60cm, ¿cuál es su área?

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Son recíprocas, aquellos pares de razones trigonométricas de un mismo ángulo, que al multiplicarse entre si resultan la unidad. Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas (inversas) al seno, coseno y tangente, del siguiente modo: La cosecante es la razón recíproca del seno, o su inverso multiplicativo: La secante es la razón recíproca del coseno, o su inverso multiplicativo: La cotangente es la razón recíproca del tangente, o su inverso multiplicativo:

Razones Trigonométricas de ángulos agudos EJERCICIOS PARA LA CLASE 06. Sabiendo que sen(2x + 15)° . csc65° = 1, halla el valor de x 07. Si cos(3x + 10)°. sec(x + 70)° = 1, calcula el valor de x 08. Halla el valor de x si tg(5x – 50)° . ctg(4x + 20)° = 1 09. Si se cumple que: cos(7x2 – 3)° . sec(2x + 9)° = 1 10. Calcula x e y en:

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto (90°). En la figura se muestra: α ˆ β : Son ángulos complementarios (α + β = 90º)   Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto a como α y al ángulo opuesto al cateto b como β en consecuencia: c a b β α

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS senα = c a senβ = c b α β c a b cosα = senβ cosα = c b cosβ = c a senα = cosβ tgα = b a tgβ = a b ctgα = tgβ ctα = a b b a ctgβ = tcgα = tgβ secα = b c secβ = a c cscα = secβ cscα = a c cscβ = b c secα = cscβ “Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su ángulo complementario”

Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Ejemplos: sen 25° = cos 65° porque 25° + 65° = 90° tg 50° = ctg 40° porque 50° + 40° = 90° sec 12° = csc 78° porque 12° + 78° = 90° Ejercicio 1 Ejercicio 2 Halla el valor de θ en: Sen 2θ = Cos 84° Halla el valor de θ en: tg 5α = ctg α Solución Solución Dado que deben ser ángulos complementarios: 2θ + 84° = 90° 2θ = 6° θ = 3° Dado que deben ser ángulos complementarios: 5α + α = 90° 6α = 90° α = 15°

Razones Trigonométricas de ángulos agudos EJERCICIOS PARA LA CLASE 11. Si sen(3x + 10)° = cos(2x + 53)° , calcula el valor de x 12. Si sec(5x – 40)° = csc(2x – 10)°, halla el valor de x 13. Si tg(2x + 15)° . tg51° = 1, halla el valor de x 14. Siendo: . Halla el valor de x (x є Z+) 15. Calcula x e y en:

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