VARIANZA Y Y COVARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS Estadística II MI. MARTHA PAMELA RAMÍREZ VELA ITESM CAMPUS SALTILLO 1

2 Varianza poblacional de X El valor esperado de la desviación es conocida como la varianza poblacional de X. Es una medida de dispersión de la distribución de X alrededor de su media poblacional. La desviación estándar de X es la raíz cuadrada de su varianza poblacional. Varianza poblacional de una variable aleatoria discreta Desviación estándar de X

3 x i p i x i –  (x i –  ) 2 (x i –  ) 2 p i 21/36– /36– /36– /36– /36– / / / / / / Para obtener la varianza, primero es necesario sustraer la media a cada valor de x. Segundo, este resultado se eleva al cuadrado y finalmente se multiplica por la probabilidad de ocurrencia de cada x. Varianza poblacional de una variable aleatoria discreta

4 Dos variables aleatorias X y Y son independientes si y sólo si: E[f(X)g(Y)] = E[f(X)] E[g(Y)] para cualquier función de f(X) y g(Y). Caso especial: si X y Y son independentes, E(XY) = E(X) E(Y) Independencia de dos variables aleatorias Dos variables X y Y son independientes si y sólo si, dada cualquier función de f(X) y g(Y), el valor esperado del producto de f(X)g(Y) es igual al valor esperado de f(X) multiplicado por el valor esperado de g(Y). Caso especial, el valor esperado de XY es igual al valor esperado de X multiplicado por el valor esperado de Y, si y sólo si X y Y son independientes.

5 X Variables aleatorias continuas altura Las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor infinitesimal en un rango. Un ejemplo es la temperatura de una habitación. Se asume que ésta puede situarse entre cualquier valor entre 55 y 75 grados Fahrenheit con la misma probabilidad en todo el rango. En el caso de variables aleatorias continuas, la probabilidad de ser igual a un valor en el rango siempre es infinitesimal. Por esta razón, sólo se puede hablar de la probabilidad de una variable aleatoria continua se encuentre dentro de un rango de valores dados.

X Variables continuas aleatorias Densidad de probabilidad f(X)f(X) f(X) = 0.05 para 55 X 75 f(X) = 0 para X 75 Soponga que se requiere calcular la probabilidad de la temperatura entre 65 y 70 grados. Para obtenerla, se debe calcular el área debajo de la función de densidad entre 65 y 70. La altura del rectángulo es 0.05 y su ancho es 5, por lo tanto su área es

7 Covarianza y correlación Si dos variables son independientes, su covarianza es cero. Para demostrarlo se reescribe la covarianza como el producto de de los valores esperados de sus factores. Esto se puede hacer porque X y Y son independientes. El valor esperado de ambos factores es cero porque E(X) =  X y E(Y) =  Y. E(  X ) =  X y E(  Y ) =  Y porque  X y  Y son constantes. Por lo tanto la covarianza es cero. Covarianza

8 Covarianza y correlación Cov(X, Y) es una medida de asociación insatisfactoria entre X y Y porque depende de las unidades de medida (o escala) de X y Y. Una mejor medida es el coeficiente de correlación porque no es dimensional: El numerador posee las unidades de medida de X y Y, mientras que la varianza de X y Y en el denominador posee las unidades de medida al cuadrado de estas varibles. Si X y Y son independientes,  XY será igual a cero porque  XY será igual a cero. Si hay una asociación positiva entgre ellos,  XY, y por tanto  XY, será positiva. Si hay una exacta relación lineal positiva,  XY tomará su valor máximo de 1. Similarmente,si hay una relación negativa,  XY será negativa con un valor mínimo de –1. Correlación