GEOMETRÍA ANALÍTICA

MAGNITUDES  Las magnitudes que se expresan con un solo número se llaman magnitudes escalares, pero si además tenemos que saber la dirección y el sentido, tenemos magnitudes vectoriales y sus elementos son los vectores.  Por ejemplo, un mapa del tiempo contiene magnitudes constantes, como la temperatura, y magnitudes en movimiento, como el viento. 2

VECTORES EN EL PLANO 3

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5 1. VECTORES

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“ UN VECTOR ES UN SEGMENTO ORIENTADO 7

VECTORES 8

9

EJEMPLO 10 Para calcular las coordenadas de un vector conocidos dos puntos, simplemente restamos sus coordenadas

MÓDULO DE UN VECTOR 11

Ejemplo. Ejercicios 1 y 2 pág

2. OPERACIONES 13

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO 14

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO 15

SUMA DE VECTORES 16

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES 17 Sean los vectores Definimos un tercer vector w como combinación lineal de u y v: Ejemplo: 17

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES 18 Otro ejemplo: Con los mismos vectores 18 Pero con distintos coeficientes

EJEMPLO. EJERCICIO 1 Pág

EJEMPLO. EJERCICIO 1 Pág

EJEMPLO. Ejercicios pág

3. VECTORES QUE REPRESENTAN PUNTOS 22

Las coordenadas del punto A son las del vector OA 23

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 24

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 25 Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales

EJERCICIOS PÁG

SIMÉTRICO RESPECTO DE UN PUNTO 27

5. PUNTOS ALINEADOS 28

PUNTOS ALINEADOS 29 Los puntos A (x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) y C(x 3, y 3 ) están alineados siempre que los vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales. EJEMPLO. Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

6. ECUACIONES DE LA RECTA 30

ECUACIONES DE LA RECTA 31 y = mx + n

32 Para determinar una recta r necesitamos: Un punto de la recta y una dirección Dos puntos de la recta A v r r A B

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA 33 O X(x,y) A(a 1,a 2 ) r Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector director de la recta) Sea A el punto de coordenadas A(x 1,y 1 ) y v un vector de componentes (v x,v y ) Sea X(x,y) un punto genérico de la recta Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA 34 Sea A el punto de coordenadas A(x 1,y 2 ) y v un vector de componentes (v 1,v 2 ) A partir de la ecuación vectorial, igualando coordenada a coordenada: ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA Despejando el parámetro e igualando: ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Quitando denominadores y pasando todo al primer miembro:

GENERAL y EXPLÍCITA 35  ax+by+c=0  Si despejamos en la ecuación el valor de y, nos queda: mn ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Ecuaciones de la recta EJEMPLO. Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,-1) 36 Dada la ecuación vectorial de la recta r: Igualando coordenada a coordenada: Igualando componentes: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Despejando el parámetro e igualando: ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Despejando y: ECUACIÓN EXPLÍCITA

EXPLÍCITA 37  y = mx + n Ejemplo. Halla la recta de pendiente 5 y de ordenada en el origen -3. Sol: y = 5x - 3 La pendiente m de la recta, corresponde a la inclinación de ésta con respecto al eje x.

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Ejemplos de ecuaciones de la recta Ejemplo 1 Sea la ecuación explícita de la recta r y = 5x – 3 Halla las restantes ecuaciones de dicha recta. General Punto pendiente Recta que pasa por dos puntos

Solución del ejemplo 1 General: y - 5x – 3 = 0 Punto pendiente. Se ve en la ecuación explicita que la pendiente es 5 y elijo un punto que cumpla la recta (1,2). y – 2 = 5 (x - 1) Recta que pasa por dos puntos. Elijo dos puntos que cumplan la recta para hallar la pendiente. A (1,2) y B (2,7) Ahora uso la ecuación de la recta pendiente y – 1 = 5 (x - 2)

7. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 41

PENDIENTE DE UNA RECTA 42 De un vector director solamente nos interesa su dirección, no su longitud. Por tanto, siempre podemos simplificarlo. Por ejemplo: v(8, 12) || v(4, 6) || v(2, 3) Por ejemplo: v(8, 12) || v(4, 6) || v(2, 3) Todos los vectores anteriores representan al mismo vector director.

PUNTO PENDIENTE 43  y - y 0 = m(x - x 0 )  Ejemplo. Halla la recta que pasa por el punto (1,- 2) y tiene por pendiente -1.  Sol: y - (-2) = -1(x - 1) y + 2 = -x + 1 y = -x - 1

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 44 La pendiente de la recta que pasa por los puntos P =(x 0,y 0 ) y Q =(x 1,y 1 ) es Dados los puntos (0,1) y (-2,5) de una recta, halla su pendiente. Sol:

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE 45 Un modelo de crecimiento de un bebe se ha relacionado linealmente donde el peso P (en kilos) de un niño al nacer y su edad T (en años) describe el incremento del peso hasta los 24 meses. Se sabe que al nacer el peso del bebe es de 3350 gramos y que su tasa de crecimiento es de 8 kgs/año.

EJERCICIOS Página

POSICIONES DE DOS RECTAS 47

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 48 Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1

VECTOR Y RECTA PERPENDICULAR 49

RECTA PARALELA AL EJE X 50

RECTA PARALELA AL EJE Y 51

EJERCICIOS pág

ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA 53