FP: FORMAS SUPERPUESTAS Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Series superpuestas a b c V d = d’ V’ a’ b’ c’ A B D C s=s’ A1 A2 B1 s y s’ son sección de dos haces perspectivos V y V’. por una misma recta Los puntos D1 y D2 son elementos dobles de las series

Haces concentricos b2 V d1 a1 c2 c1 C’ B A D = D’ C a B’ a2 d2 A’ Dual de series superpuestas b c d V1=V2

Series de primer orden superpuestas Se pueden relacionar los elementos de dos series superpuestas de primer orden, mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia, con dos series de segundo orden proyectivas de las anteriores (ABCD )=(A’B’C’D’ )=( A1 B1 C1 D1) =(A2 B2 C2 D2) V C2 A1 B2 B1 C1 B1 C’ A B C A’ B’

Series de segundo orden superpuestas Se pueden relacionar los elementos de dos series superpuestas de segundo orden mediante su eje proyectivo A1 A2 B2 B1 C1 C2

Separación de formas Para operar con formas superpuestas se puede: Mediante un movimiento separar una de las formas Resolver proyectivamente con las formas separadas Deshacer el movimiento con los resultados obtenidos s=s’ A1 A2 B1 B2 C1 C2 X1 s=s’ A1 A2 B1 B2 C1 C2 X1 s’’ A3 B3 C3 X3

Cuaternas de elementos FP_7P_01 Cuaternas de elementos V t 3-. En la figura adjunta se cumple: V F (ABCP) = (abcp) V F (ABCP) = (A’B’C’P’) V F (abcp) = (A’B’C’P’) V F (abcp) = (a’b’c’p’) Oc A’ B’ b’ a’ c’ C’ P’ V2 p’ 4-.En la figura adjunta se cumple: a b p c V F (LABC) = (VABC) V F (ACB) = (VA’B’C’) L A B C P

FP_7P_02 Series superpuestas Determinar el homólogo del punto X1 . Enunciar el problema dual C2 B2 A2 B1 C1 A1 s=s’ X1

FP_7P_03 Series superpuestas Determinar el otro punto doble en la proyectividad entre bases superpuestas . Enunciar el problema dual B2 A2 B1 A1 D1 s=s’

FP_7P_04 Series superpuestas Determinar los elementos dobles . Enunciar el problema dual C2 B2 A2 B1 C1 A1 s=s’ X1

FP_7P_05 Series superpuestas Determinar el eje proyectivo . Enunciar el problema dual B2 A2 C2 A1 B1 C1

FP_7P_06 Series superpuestas Determinar los elementos dobles . Enunciar el problema dual B2 A2 C2 A1 B1 C1

FP_7P_07 Series superpuestas Una cónica está dada por los puntos V, V’, A, B y C. Obtener los puntos de intersección con la recta r. Enunciar el problema dual V V’ A B C r