Unidad 2 “Líneas de espera” INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA Alumno: José Alberto Hernández Pérez (10300280) Materia: Investigación de Operaciones FECHA DE ENTREGA: 21/09/2011

2.1 Definiciones, características y suposiciones. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado; tambien para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. Costo de espera: Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por: Costo total de espera = CwL Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea. Costo de Servicio: Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio, en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.

Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera. Origen: El matemático danés Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1909. Específicamente se preocupó del estudio del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas

2.2 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN. Para describir una cola hay que especificar su magnitud respecto al tiempo. Proceso de entrada o llegada clientes no se ve afectado por nº de clientes presentes, se rige por una distribución de probabilidad que gobierna el tiempo entre llegadas sucesivas Modelos de origen finito: las llegadas se toman de una población pequeña. La rapidez de llegada disminuye cuando la instalación está concurrida: el cliente puede declinar. Proceso de salida o servicio: distribución del tiempo de servicio independiente del nº de clientes presentes. Servidores en paralelos Servidores en serie

2.3 PROCESO DE NACIMIENTO O MUERTE. PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA En el primer proceso, los clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los clientes se retiran de un abasto inicial. En ambos casos los procesos de llegada y retiro ocurren de manera aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura. MODELO DE NACIMIENTO PURO Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos. Estas actas se guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones para creer que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson. n=0,1,2,…. (Nacimiento puro) MODELO DE MUERTE PURA Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson: n = 1,2,…N (Muerte pura)

2.4 MODELO POISSON. La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio al “servidor”, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no esta disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la “línea de espera”. El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo “Poisson”. Distribución Poisson Si la tasa de llegada se da en razón del tiempo que transcurre entre una llegada y otra, entonces se dice que sigue una distribución de tipo “Exponencial”. En un supuesto común, la distribución del tiempo de servicio está dada por la distribución “Exponencial”. Mientras que el número de servidores puede ser uno o varios. Distribución Exponencial La tasa de servicio, al igual que la de llegada, debe ser evaluada para ver si se ajusta a una distribución “Exponencial”.

Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson: Ejemplo del modelo de Poisson. El promedio de camiones de carga que llegan a un puesto aduanal es de 13 camiones por hora,. El puesto aduanal puede atender máximo 321 camiones por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en determinada hora se atiendan 10 camiones? X = 10 λ= 13 (pues es el numero de camiones que se pueden atender por hora) e= es un valor irracional que vale 2.7182

2.4.1 UN SERVIDOR Se supone un sistema con una sola cola, a la cual puede llegar un número infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S(S>1) servidores en paralelo. La política del sistema es que sirve a los clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado al principio y se irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la medida que vayan llegando los clientes. Ejemplo con Modelo de un servidor El departamento para caballeros de un gran almacén tiene a un sastre para ajustes a la medida . Parece que el numero de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de poisson con una tasa media de llegadas de 24 por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega, primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste , se distribuye exponencialmente con una media de 2 minutos.

24.2 MÚLTIPLES SERVIDORES. Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más complicadas. Sea :   N = número de servidores. A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo). S = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo). Entonces : La cantidad P0 es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de tiempo, lo cual no lo hace más fácil de calcular. Para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2  

2.5 ANÁLISIS DE COSTOS Costos Históricos.- Medida del valor de mercado de un activo al momento de su compra para efectos de impuestos. • Costos Corrientes.- Medida del valor de mercado de un activo en el presente relevante para la toma de decisiones gerenciales. • Determinantes de los costos corrientes • A) Costo de reemplazo.- Costos de duplicar la capacidad productiva usando tecnología del momento actual. • B) Costo de oportunidad.- Valor al que se renuncia asociado con el uso actual del activo en lugar de su uso en la mejor alternativa. En el Largo Plazo todos los factores son variables por tanto no hay costos fijos. En especial, el tamaño de planta es variable. • Suponga que los precios de los factores no cambian con el nivel de producción, existe una relación directa entre las funciones de costos y de producción.

BIBLIOGRAFÍA http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_colas TOMA DE DECISIONES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ROBERT J. THIERAUF, LIMUSA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 5TA EDICION HAMDY A. TAHA ALFAOMEGA. INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICACIONES Y ALGORITMOS WIKIPEDIA.COM