CURSO: INVESTIGACION DE OPERACIONES I TEMA: ECUACIONES EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL DOCENTE: ING. ALDER NICK FLORES GUTIÉRREZ 1

Aplicación de Modelos Cuantitativos de Decisión Los modelos cuantitativos de decisión (simbólicos-matemáticos) son de gran utilidad para resolver problemas cuantitativos en el mundo real. Si un problema en particular, tiene características cuantitativas entonces es posibles traducir sus componentes y relaciones, en relaciones simbólicas que permitan construir un modelo matemático que permita determinar su solución. Por ejemplo, en un simple problema para determinar el pago a realizar por un determinado número de horas labor, observamos que la solución corresponde a un criterio cuantitativo; el monto a pagar. Podemos entonces elaborar un mo- delo cuantitativo para determinar el pago a efectuar, por ejemplo, si la tarifa horaria es de $25. HorasPago

Ya que existe una relación hrs. labor y pago a efectuar, podemos expresar la relación simbólica como : donde: X = núm. de hrs Y = 25 X Y = pago a efectuar Si designamos el costo de hrs. labor como “a” dólares, el modelo puede expresarse como: donde: X = núm. de hrs Y = a X Y = pago a efectuar a = dólares x hr. Y más genéricamente como: Y = f(X) donde: X = núm. de hrs Y = pago a efectuar 2 3

Los modelos Matemáticos Los modelos cuantitativos de decisión se formulan en base a modelos mate- máticos. Los modelos matemáticos son clasificados en dos grandes clases: DescriptivosNormativos Utiles para describir el compor-Son modelos que tienen incor- tamiento del sistema. Sólo des-porado objetivo( s ) que pres- criben una situación sin indicarcriben un curso de acción. ningún curso de acción.Se mide el efecto de la acción en el (los) objetivo(s). 2 4

Componentes básicos de los modelos matemáticos normativos Caso. Formular el modelo matemático que describa la siguiente situación: Se requiere fabricar 3 productos (p1, p2 y,p3). Para el proceso de fabrica- ción se dispone como máximo de 200 hs.de mano de obra. Además se ha determinado que la cantidad de hrs. de mano de obra requeridas para fa- bricar una unidad de cada producto es de: 16, 8 y 4 hrs. respectivamente. Se requiere determinar la relación entre la cantidad de unidades a producir de cada producto y la cantidad de horas de mano de obra disponible. El problema tiene componentes numéricos y requiere una respuesta cuan- titativa. Entonces, puede ser sometido a un modelo simbólico-matemático. Simbólicamente, se puede definir las variables: X1 =número de unidades a fabricar del producto-1 X2 = número de unidades a fabricar del producto-2 X3 = número de unidades a fabricar del producto-3 2 5

Estas variables deben relacionarse con los otros elementos del problema; los datos (parámetros) relativos a los requerimientos de hrs. de cada producto y la disponibilidad total de horas de mano de obra, de la siguiente manera: R < = 16 X1 + 8 X2 + 4 X3200 R describe el comportamiento de la relación, según el valor de X1, X2 y X3 Extensión del Caso. Además se desea conocer la relación que determine la utilidad a obtener, sabiendo que cada unidad producida de p1, p2 y p3 deja una utilidad de $80, $64 y $48 respectivamente. Z 80 X X X3 Z describe el comportamiento de la utilidad, según el valor de X1, X2 y X3 2 6

Extensión del Caso. Finalmente se desea conocer la cantidad de unidades a produ- cir de cada producto, de manera tal que se obtenga la mayor utilidad posible respetando las condiciones del problema. Observamos que la solución debe determinar la cantidad a producir de cada producto y que además se ha incorporado un objetivo que debe ser satisfe- cho por la solución. El modelo simbólico que expresa esto es: Maximizar Z = 80 X X X3 Sujeto a:16 X1 + 8 X2 + 4 X3 < = 200 X1, X2, X3 > = 0 Generalizando: Maximizar Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 Sujeto a:a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 < = 200 X1, X2, X3 > = 0 2 7

Componentes básicos de los modelos matemáticos normativos Variables de decisión Cantidades a determinar... Valores constantes que describen las relaciones... Parámetros Limitantes que restringen los valores de variables... Restricciones Uno o mas objetivos que definen la efectividad Función Objetivo del modelo en función de las variables... Otras Clasificaciones de los modelos matemáticos Según sus parámetros....Determinísticos / Estocásticos Según las variables.....Lineales / No Lineales Según la variación de sus condiciones en el tiempo.... Estáticos / Dinámicos 2 8

MODELOS CUANTITATIVOS DE DECISION MAS UTILIZADOS EN LA C.A. MODELOS CUANTITATIVOS 2 9

METODOS DE SOLUCION UTILIZADOS POR LA C.A. Formulado el modelo, el siguiente paso es resolverlo. Los métodos de solución aplicados por la CA, se pueden categorizar genéricamente en 3 clases. Su aplicación dependerá de las características del problema a resolver. METODO ALGORITMICO. Se aplica a los problemas reducidos a modelos analíticos (matemáticos). Permite determinar una solución óptima. METODO DE SIMULACION Se aplica cuando no es posible la solución analítica, para simular la con- ducta del sistema hasta obtener una solución no necesariamente óptima. METODO HEURISTICO Es utilizado cuando no es posible aplicar la solución analítica ni la simulación. Produce soluciones aproximadas. 2 10

Solución analítica del caso propuesto Máximizar Z = 80 X X X3 Sujeto a:16 X1 + 8 X2 + 4 X3 < = 200 X1, X2, X3 > = 0 Considerando que el objetivo es maximizar las utilidades, un análisis inme- diato podría sugerir, como solución, producir tantos producto-1 ( X1 ) como sea posible, ya que este producto contribuye con la mayor utilidad. Un análisis mas completo, considerando la restricción R del modelo, indica que el producto-1 tiene la mas alta demanda de hrs labor y quizás, produ- cir la mayor cantidad del producto-1 no sea lo mas óptimo. El error en el primer análisis debe a que los elementos del problema, las contribuciones, las demanda de hrs.labor, no son independientes sino que afectan directa y conjuntamente la decisión. 2 11

Solución analítica del caso propuesto Una razón que permite relacionar mas objetivamente los elementos del problema,es determinar la utilidad de cada producto por unidad de hr.labor Producto-1Producto-2Producto-3 $80 / und $64 / und $48 / und = $ 5 / hr = $ 8 / hr = $12/ hr 16hrs / und 8hrs / und 4hrs / und Es evidente, que se deben producir tantas unds. del producto-3 como sea posible. Dicha cantidad, esta en función del total de horas labor disponibles. 200 hrs, por tanto la máxima utilidad es Es decir: X3 == 50 4 hrs Z = 80 (0) + 64 (0) + 48 (50)=

Modelos matemáticos de Programación Lineal (PL) Son los modelos cuantitativos de decisión de mayor uso y utilidad en la C.A. Los modelos de PL, son modelos que se caracterizan por tener: Objetivo únicola función que define la efectividad del modelo en función de las variables es única. Restricciones son las condiciones que restringen los valores de las variables de decisión Proporcionalidad las relaciones en el modelo son todas lineales (los efectos de una variables en si misma son proporcionales) ejm.duplicar la cantidad de un bien a comprar, duplica el monto a invertir en la compra. Continuidad es posible obtener asignaciones fraccionarias en los valores de las variables ( valores discretos o continuos). Aditividad La interacción entre las variables es aditiva No negatividad los valores de las variables de decisión deben ser no negativos 2 13

Una de las principales consideración a tener en cuenta en los modelos de PL se derivan de la condición de proporcionalidad (linealidad). La programación lineal es aplicable solo a situaciones en las cuales los efec- tos de las actividades del problema pueden expresarse en funciones lineales 22 3 X1 + 8x2 = 10 X1 + X2 = 16 X1. Y1 = 1 X1 Los modelos anteriores son no lineales y no aplicables a programación lineal ¿QUE ES PROGRAMACION LINEAL? 2 14

GENERALIZACION DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL La PL es aplicable a problemas sustancialmente mas generales que un caso en particular. Máx Z = 80 X X X3 s.a:16 X1 + 8 X2 + 4 X3 < = 200 X1, X2, X3 > = 0 Los parámetros de la FO (80, 64, 48) pueden ser representados por símbolos por ejm. c, análogamente los parámetros del primer término de la relación de restricción (16, 8, 4) pueden ser representados por el símbolo a (para diferen- ciarlos de los parámetros de la FO) y el parámetro de segundo término de la relación de restricción por b. Máx Z = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 s.a :a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 <= b X1, X2, X3>=

Genéricamente la FO puede ser minimizada, en vez de maximizada y tener muchas variables. Las relaciones de restricción pueden ser numerosas y de tipo >=, <= ó =.Cualquier parámetro puede ser negativo en vez de positivo Máx Mín Z = c1 X1 + c2 X2 + c3 X cnXn s.a :a11 X1 + a12 X a1n Xn = b1 a21 X1 + a22 X a2n Xn = b2 am1 X1 + am2 X amn Xn = bm X1, X2, X3,.....Xn >= 0 X1, X2,....,XnVARIABLES DE DECISION c1, c2,......,cnCOEFICIENTES DE CONTRIBUCION a11, a12,....., a1n a21, a22,....., a2nCOEFICIENTES DE SUSITUCIÓN am1, am2,......amn b1, b2,.....bmPARAMETROS DE SEGUNDO TERMINO 2 16

Formulación y Construcción de modelos de PL La formulación del modelo está más relacionado al análisis conceptual y a la concepción lógica donde el objetivo y las relaciones deben ser identificadas y definidas. La construcción está más relacionada a la elaboración simbólica del modelo. Aún así, la formulación y construcción son procesos integrados. El beneficio de formular y construir modelos es que, nos proporciona una estructura para el análisis lógico y consistente, así por ejemplo obliga a: - Reconoce y ser explícitos en relación con los objetivos. - Identificar y registrar las variables de decisión. - Identificar y registrar las interacciones e intercambio de las variables - Identificar y registrar las limitaciones (restricciones) de los valores que pueden contener las variables de decisión. En la complejidad del mundo real en general existen varias maneras de de construir un modelo. Como una guía general se expone la siguiente: 3 17