1 ¿Qué es? -Respuesta a: ¿por qué se mueve? -Estudio de las causas del movimiento -Estudio de las fuerzas y torques y su efecto en el movimiento Ejemplo elemental: -La dinámica está representada por expresiones de segundo orden Dinámica f m Segunda ley de Newton x Segunda ley de Euler m : masa x : posición f : fuerza J : momento de inercia θ : ángulo τ: torque (momento)

2 Dinámica en Robótica Establece la relación entre: Fuerzas generalizadas sobre el robot: τ(t) τ articular τ externos q(t) Fuerzas generalizadas: -τ articular : torques en las articulaciones -τ externos : f uerzas/torques aplicados por o sobre el entorno (mediante alguna parte del robot) Movimiento del robot: - Trayectoria articular - Trayectoria Cartesiana (del efector final)

3 Modelo Dinámico de un Robot Modelo dinámico (en el espacio articular q ) : Al modelar dinámicamente (un robot) se busca … -Encontrar M, C, g que definen el modelo dinámico del robot -Modelo dinámico permite control y simulación “Problemas” en dinámica: dinámica directa y dinámica inversa donde: Segundo orden

4 Dinámica Directa n grados de libertad entrada salida Modelo dinámico directo Integración numérica simulador dinámico

5 Dinámica Inversa Movimiento deseado Torque/fuerzas requeridos

6 Métodos para Calcular la Dinámica (basado en energía) (basado en balance fuerzas/torques) Ecuaciones en forma simbólica Apropiado para: -Estudio de propiedades dinámicas -Análisis de esquemas de control Ecuaciones en forma numérica (recursiva) Apropiado para: -Dinámica inversa en tiempo real -Implementación de esquemas de control Energía cinética: T Energía potencial: U Fuerzas: f Momentos: m f f m m Nota: Euler-Lagrange formalmente se puede obtener del: principio de d’Alembert, de Hamilton, de trabajo virtual, etc.

8 Formulación de Euler-Lagrange Energía cinética Energía potencial ( h : altura)

9 Ecuaciones del movimiento -Formulación de Euler-Lagrange término a término: -Formulación de Euler Lagrange de forma vectorial: Formulación de Euler-Lagrange n coordenadas generalizadas Fuerzas generalizadas (hacen trabajo sobre q i )

10 Formulación de Euler-Lagrange x y - Energía cinética: - Energía potencial: Ejemplo 1: masa puntual Encontrar el modelo dinámico de la masa puntual mostrada en la figura usando: a) la segunda ley de Newton, b) la formulación de Euler-Lagrange Solución a) Usando la ley de Newton: b) Usando Euler-Lagrange: - Lagrangiano:

11 Formulación de Euler-Lagrange Encontrar el modelo dinámico de un péndulo simple usando la formulación de Euler-Lagrange Posición y velocidad de la masa: Energía potencial: Energía Cinética: Lagrangiano: Ejemplo 2: Péndulo simple Solución

12 Formulación de Euler-Lagrange Lagrangiano Derivadas del Lagrangiano Formulación de Euler-Lagrange: Ejemplo 2: Péndulo simple Estructura:

13 Formulación de Euler-Lagrange Nota importante: -La energía potencial se define como cero en un punto arbitrario -Se puede tomar otro sistema de referencia -Lo que interesa es que es igual en cualquier caso Ejemplo 2: Péndulo simple

14 Formulación de Euler-Lagrange Encontrar el modelo dinámico de un péndulo doble usando la formulación de Euler-Lagrange Ejercicio 1: Péndulo doble Respuesta:

15 Formulación de Euler-Lagrange Ejercicio 1: Péndulo doble

16 Formulación de Euler-Lagrange Reescribir las ecuaciones en forma matricial con la estructura: Ejercicio 1: Péndulo doble Matriz de masa Componente de Coriolis y fuerzas centrífugas Componente de gravedad Respuesta:

17 Formulación de Euler-Lagrange La masa puntual m está unida a una articulación esférica a través de una barra cuya masa es despreciable. La configuración de la masa puntual es: q = (θ, ϕ ), donde θ mide la distancia angular del eje z, y ϕ mide la distancia angular del eje x. Calcular la dinámica del sistema usando la formulación de Euler-Lagrange Ejercicio 2: Péndulo esférico Respuesta:

18 Formulación de Euler-Lagrange Pasos: Posición de la masa puntual en coordenadas Cartesianas (x,y,z) en función de los ángulos de configuración Energía cinética del péndulo. Hay componentes de velocidad en x, y, z Energía potencial del péndulo Lagrangiano Derivar el Lagrangiano Reemplazar en la formulación de Euler Lagrange Ejercicio 2: Péndulo esférico