MATRICES

MATRICES ÍNDICE. Matrices Definición de matriz Tipos de matrices Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Operaciones con matrices Adición de matrices Multiplicación de una matriz por un número Multiplicación de matrices Matriz inversa Cálculo de matriz inversa por el método de Gauss-Jordan Solución matricial de un sistema de ecuaciones lineales Rango de una matriz Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

MATRICES Las matrices son tablas de números que se utilizan para el cálculo numérico, resolución de ecuaciones, problemas algebraicos, en problemas geométricos, en estadística, y en general en casi todas las ramas de las Matemáticas y de las Ciencias en general (economía, informática, Física, etc.) Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el Matemático Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático Hamilton, y la notación matricial a Cayley. Ver Matrices (Sociedad Thales)

CONJUNTO DE MATRICES Una matriz A de dimensiones (o de orden) m x n con coeficientes en el cuerpo de los números reales es un número mxn dimensional (tablero de m filas y n columnas), de m x n elementos de R, a i j ; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2 , . . . , n. Donde, el elemento aij representa el elemento de la fila i y de la columna j. Dos matrices A y B de orden m x n son iguales si aij = bij ; i = 1, 2,..., m; j =1,2,...,n. Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada.

CONJUNTO DE MATRICES Designamos por: Ejemplo.- Determinar los valores de a y b para que las matrices A y B sean iguales. Es evidente, que proponiendo las ecuaciones: 2 = 2.a; 3 = a – b Se obtienen los valores de a = 1 y b = - 2 Designamos por: Mmn(R) = { A : A es matriz de orden m x n con coeficientes en R }. Mn(R) = {A : A es matriz cuadrada de orden n de coeficientes en R}

TIPOS DE MATRICES Denominamos matriz fila a la matriz A de dimensiones 1xn (también denominado vector fila) Denominamos matriz columna a la matriz A de dimensiones mx1 (también denominado vector columna) Denominamos matriz escalonada a la matriz A de dimensiones mxn tal que cada fila en número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que la precedente

TIPOS DE MATRICES Denominamos matriz cuadrada a la matriz A de dimensiones nxn. A los elementos aii i =1, ,2, 3, …, n, se les denomina diagonal principal Diagonal principal Denominamos matriz triangular superior (respectivamente inferior) a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn tal que todos los elementos por debajo (respectivamente por encima) de la diagonal son nulos .

TIPOS DE MATRICES Denominamos matriz diagonal a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que todos los elementos distintos de la diagonal son nulos. Denominamos matriz identidad a la diagonal A de dimensiones nxn, tal los elementos de la diagonal principal son todos 1 . Si todos los elementos de la diagonal son iguales pero distintos de 1, se denomina matriz escalar .

TIPOS DE MATRICES Denominamos matriz opuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz -A de dimensiones mxn tal que todos sus elementos son de la forma – a i j, para cada i=1,2,..,m; j=1,2,..,n Denominamos matriz transpuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz At de orden nxm, tal que atij = aji , para cada i=1,2,..,m; j=1,2,..,n

TIPOS DE MATRICES Denominamos matriz simétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que A =At , es decir atij = aji , para cada i,j=1,2,...,n Denominamos matriz antisimétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que A =-At es decir atij = -aji , para cada i,j=1,2,...,n

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas Se puede asociar las matrices Denominadas matriz de coeficientes y ampliada respectivamente

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A pesar de que dicho sistema se puede resolver efectuando operaciones con matrices (como se puede ver en este tema), se puede aplicar el método de Gauss directamente sobre la matriz ampliada, manipulando las filas como si se tratara de ecuaciones Ejemplo.- Para resolver el siguiente sistema por el método de Gauss Utilizando la matriz ampliada y efectuado las operaciones con las filas convenientemente Que resolviendo se obtiene z = -3, y = 2, x = 1

OPERACIONES CON MATRICES El conjunto de matrices de orden mxn, se pueden sumar y multiplicar por un número, y las matrices de dimensión mxn se pueden multiplicar por las de dimensión nxp. Dado que habitualmente las matrices se utilizan para representar problemas matemáticos (algebraicos, geométricos, estadísticos, físicos, económicos, etc.), al utilizar estas operaciones podemos resolver muchos de estos tipos de problemas de forma más cómoda (en ocasiones utilizando computadoras) . Conviene recordar la siguiente notación para el conjunto de matrices: Mmxn(R) = Mmxn = matrices de orden o dimensión mxn con coeficientes reales Mn(R) = Mn = matrices cuadradas de orden o dimensión n con coeficientes reales

ADICIÓN DE MATRICES Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de igual dimensión, definimos matriz suma S = (sij) (se representa S = A + B), donde s i j = a i j , para cada i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,n Ejemplo.- PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES de dimensión mxn Conmutativa.- A + B = B + A, para cualquier matriz A y B de dimensiones mxn Asociativa.- A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, para cualquier matriz A, B y C de dimensiones mxn Elemento neutro.- Existe la matriz nula O (todo ceros) de dimensión mxn tal que O+A = A+O, para cualquier matriz A de dimensiones mxn Elemento Simétrico.- Para cada matriz A de orden mxn existe la matriz -A (matriz opuesta) de dimensión mxn tal que (-A)+A = A+(-A) = O. Teniendo en cuenta las propiedades de la suma de matrices, se tiene que el conjunto de matrices de orden mxn sobre el cuerpo de los números reales R (Mmxn(R)) es un grupo conmutativo o abeliano Restar dos matrices A y B de la misma dimensión es equivalente a sumar A y la opuesta de B, es decir A – B = A + (-B)

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO Sean A = (aij) una matriz de dimensión mxn, y k un número real, la matriz que se obtiene al multiplicar k por A, es k.A = k . ( a i j ) = ( k . a i j ), Ejemplo.- PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Distributiva respecto de suma de matrices.- k . ( A + B ) = k. A + k.A, para cualquier matriz A y B de dimensiones mxn y cualquier k real. Distributiva respecto de la suma de números.- ( k + h ) . A = ( k.A + h.A ), para cualquier matriz A de dimensiones mxn y cualquier k, h números reales. Asociativa entre números y matrices.- ( k * h ) . A = k . ( h.A ), para cualquier matriz A de dimensiones mxn y cualquier k, h números reales. Elemento unidad.- Para cualquier matriz A de dimensiones mxn, se cumple 1.A = A

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sean A = (aij) una matriz de orden mxn y B = (bjk) una matriz de orden nxp, denominamos producto C = (cij) (se representa P = A . B), donde c ij = a i 1 . b 1j + a i 2 . b 2 j + … + a i n . b n j , para i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,n Ejemplo.- PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Asociativa.- A . ( B . C ) = ( A . B ) . C, para cualquier matriz A, B y C que tengan las dimensiones adecuadas. Distributiva respecto de la suma.- A . ( B + C ) = A . B + A. C, para cualquier matriz A, B y C que tengan las dimensiones adecuadas. Asociativa.- k . ( A . B ) = ( k . A ) . B, para cualquier matriz A, B que tengan las dimensiones adecuadas y cualquier número real k. Existencia de elemento neutro.- En el producto de matrices cuadradas de orden n, existe la matriz identidad (In) tal que A.In = In.A, para cualquier matriz cuadrad de orden n

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES A diferencia de lo que ocurre con la multiplicación habitual de números reales, en la multiplicación de matrices hay propiedades que no se cumplen, por ejemplo: * La multiplicación de matrices no es conmutativa, por ejemplo: * Si A.B = 0 (matriz nula), no tiene por que ser necesariamente A = 0 o B = 0, por ejemplo: * Si A.C = A. B, no es necesariamente C = B, por ejemplo:

MATRIZ INVERSA Si consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (aij) , denominamos matriz inversa (cuando existe) a la matriz A–1 (si existe es única), tal que se cumple A. A–1 = A–1 .A = In Cuando una matriz A tiene matriz inversa A–1, decimos que A es invertible o regular Ejemplo.-

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN Si consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (aij), un método para hallar la matriz inversa (cuando existe) A–1 es utilizando el método de Gauss-Jorrdan para resolver n sistemas de ecuaciones, Además, existirá A–1 si estos sistemas son compatibles determinados Ejemplo.-

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN Utilizando Gauss-Jordan, podemos utilizar las matrices ampliadas Restando a la segunda fila la primera multiplicada por 2 y a la tercera la primera multiplicada por tres, obtenemos Cambiando el orden de la segunda y tercera fila, obtenemos

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN Multiplicando por -1 la segunda fila, obtenemos Restando a la primera fila la segunda multiplicada por 2, obtenemos Finalmente, sumamos la tercera fila a la primera y restamos la tercera fila a la segunda, obtenemos

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN Lo que equivale a resolver los tres sistemas (que además son compatibles determinados). Y como cada una de las tres últimas columnas de la matriz ampliada, corresponde a la solución de cada uno de los sistemas, serán las soluciones Luego la matriz A – 1 será

SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas Se puede escribir matricialmente A.X = B, donde A es la matriz de coeficiente, X la matriz de incógnitas y B la matriz de términos independientes Si la matriz de coeficientes A es regular (admite inversa A– 1), multiplicando ambos miembros de la ecuación A.X = B, por A– 1 obtenemos X = A-1.B Que es la solución del sistema

SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejemplo.- Para resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones Hallando la matriz A-1, podemos aplicar Obteniendo la solución z = -3, y = 2, x = 1

RANGO DE MATRICES Dada la matriz A = ( a i j ) de orden m x n decimos que sus filas o columnas son linealmente independientes, cuando no se puede poner ninguna como combinación lineal de resto. Por ejemplo sea la matriz A El número de filas linealmente independiente de una matriz A, coincide con el número de columnas linealmente independientes. Cuando varias filas o columnas no son linealmente independientes, decimos que son dependientes

RANGO DE MATRICES Denominamos rango de una matriz A, y denotamos por Rango(A) al número de filas o columnas linealmente independientes de la matriz A. Una matriz cuadrada A de orden n tendrá inversa A-1 si Rango(A) = n

CÁLCULO DE RANGO DE MATRICES Para calcular el rango de una matriz A, el Rango(A) = número de filas no nulas de la matriz escalonada de A. Por ejemplo sea la matriz A Como el número de filas no nulas es 2, Rango (A ) = 2.

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Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva