Aceleración centrípeta Fuerzas centrípetas mantienen la trayectoria circular de estos niños.

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Aplicar sus conocimientos sobre aceleración y fuerza centrípeta en la solución de problemas de movimiento circular. Definir y aplicar los conceptos de frecuencia y periodo, y relacionarlos con la velocidad lineal. Solucionar problemas de ángulos de peralte, péndulo cónico y círculo vertical.

Movimiento circular uniforme Movimiento circular uniforme se realiza en trayectoria circular sin cambio en la velocidad, sólo cambia la dirección. Velocidad constante tangente a la trayectoria v Fc Fuerza constante hacia el centro. Pregunta: ¿alguna fuerza empuja hacia afuera al balón?

Movimiento circular uniforme (cont.) La pregunta sobre la fuerza hacia afuera se resuelve al observar lo que sucede ¡cuando se rompe la cuerda! El balón se mueve tangente a la trayectoria, NO hacia afuera, como se esperaba. v Cuando la fuerza central desaparece, el balón continúa en línea recta. La fuerza centrípeta es necesaria para cambiar de dirección

Ejemplos de fuerza centrípeta Usted se encuentra sentado cerca de la puerta. ¿Cuál es la dirección de las fuerzas resultantes sobre usted al virar? ¿Es alejado del centro o hacia el centro de la vuelta? Fc El carro vira en una curva. La fuerza SOBRE usted es hacia el centro.

Continuación del ejemplo La fuerza centrípeta es ejercida POR la puerta SOBRE usted. (hacia el centro) F’ Reacción Fc Hay una fuerza hacia el exterior, pero no actúa SOBRE usted. Es la fuerza de reacción ejercida POR usted SOBRE la puerta. Sólo afecta la puerta.

Otro ejemplo R Empuje sobre el muro. Fc ¿Qué fuerzas centrípetas se ejercen en este ejemplo y sobre qué actúan? La fuerza centrípeta es ejercida POR el muro SOBRE el hombre. Una fuerza de reacción es ejercida por el hombre sobre el muro, pero no determina el movimiento de éste.

Ciclo de rotación en lavadora ¿Cuánta agua circula entre la ropa durante el ciclo de lavado? Piense antes de responder. . . ¿La fuerza centrípeta hace circular el agua entre la ropa? NO. De hecho, es la FALTA de esta fuerza lo que lleva a la ropa hacia los hoyos de la pared circular de la lavadora.

Aceleración centrípeta Tiene una pelota en movimiento con velocidad constantev en un círculo horizontal de radio R atada con una cuerda a una pértiga al centro de una mesa. (Suponga fricción cero.) n Fc R v W Fuerza Fc y aceleración ac hacia el centro. W = n

Aceleración central Considere la velocidad inicial en A y la velocidad final en B: vf vf B R vo -vo Dv R vo s A

Aceleración centrípeta: Aceleración (cont.) vf -vo R vo Dv s ac = Dv t Definición: = Dv v s R Triángulos similares masa m = Dv t vs Rt ac = = vv R Aceleración centrípeta:

Ejemplo 1: Una piedra de 3-kg gira en un círculo con radio de 5 m Ejemplo 1: Una piedra de 3-kg gira en un círculo con radio de 5 m. Si la velocidad constante es de 8 m/s, ¿cuál es la aceleración centrípeta? R v m m = 3 kg R = 5 m; v = 8 m/s F = (3 kg)(12.8 m/s2) Fc = 38.4 N

Ejemplo 2: Pedro patina a 15 m/s en un círculo con radio de 30 m Ejemplo 2: Pedro patina a 15 m/s en un círculo con radio de 30 m. El hielo ejerce una fuerza central de 450 N. ¿Cuál es la masa de Pedro? Dibuje el boceto 450 N 30 m v = 15 m/s R Fc m=? Velocidad m = 60.0 kg

Segunda ley de Newton para el movimiento circular: Ejemplo 3. El muro ejerce 600 N de fuerza en una persona de 80-kg con movimiento de 4 m/s en una plataforma circular. ¿Cuál es el radio de la trayectoria circular? Dibuja un boceto r = ? m = 80 kg; v = 4 m/s2 Segunda ley de Newton para el movimiento circular: Fc = 600 N r = 2.13 m

Un auto con giro suave v Fc R ¿Cuál es la dirección de la fuerza SOBRE el carro? Resp. Hacia el centro Esta fuerza central es ejercida POR el camino SOBRE el auto.

¿Hay alguna fuerza hacia afuera SOBRE el auto? Un auto con giro suave R v Fc ¿Hay alguna fuerza hacia afuera SOBRE el auto? Resp. No, pero el auto no ejerce una fuerza de reacción hacia afuera SOBRE el camino.

Un auto con giro suave n v Fc = fs Fc R fs m R mg La fuerza centrípeta Fc se debe a la fricción estática fs: R v m Fc n Fc = fs fs R mg La fuerza centrípeta FC y la fuerza de fricción fs No son dos fuerzas distintas. Sólo hay una fuerza sobre el auto. La naturaleza de esta fuerza central es su fricción estática.

Encuentre la velocidad máxima para dar una vuelta sin derrapar. Fc = fs n mg fs R R v m Fc El auto está a punto de derrapar cuando FC es igual a la fuerza máxima de la fricción estática fs. Fc = mv2 R fs = msmg Fc = fs

Velocidad máxima sin derrapar (cont.) Fc = fs n mg fs R v m Fc mv2 R = msmg v = msgR La velocidad v es la aceleración máxima para no derrapar.

Ejemplo 4: Un auto da vuelta con un radio de 70 m si el coeficiente de la fricción estática es 0.7. ¿Cuál es la aceleración máxima sin derrapar? R v m Fc ms = 0.7 Fc = mv2 R fs = msmg De donde: v = msgR g = 9.8 m/s2; R = 70 m v = 21.9 m/s

Peralte óptimo Para el peralte de una curva con ángulo óptimo, la fuerza normal n da la fuerza centrípeta necesaria para no requerir una fuerza de fricción. R v m Fc n fs = 0 n fs q Aceleración lenta q n fs q w w w Aceleración rápida Óptimo

Diagrama de un cuerpo libre La aceleración a es hacia el centro. Sea x el eje a lo largo de la dirección de ac , i. e., horizontal (izquierda a derecha). n mg q x n cos q n mg q n q + ac n sen q q mg

Aplique la segunda ley de Newton a los ejes x y y. Peralte óptimo (cont.) n mg q n sen q n cos q q n mg mv2 R n sen q = Aplique la segunda ley de Newton a los ejes x y y. SFx = mac n cos q = mg SFy = 0

Peralte óptimo (cont.) n cos q n sen q n sen q = n cos q = mg n n mg mv2 R n sen q = n cos q = mg

Peralte óptimo (cont.) n mg q n sen q n cos q Peralte óptimo q

Ejemplo 5: Un auto da una vuelta con radio de 80 m Ejemplo 5: Un auto da una vuelta con radio de 80 m. ¿Cuál es el peralte óptimo para esta curva si la velocidad es igual a 12 m/s? q n mg tan q = = v2 gR (12 m/s)2 (9.8 m/s2)(80 m) q = 10.40 n mg q n sen q n cos q tan q = 0.184 ¿Cómo encuentra la fuerza centrípeta sobre el carro, conociendo su masa?

El péndulo cónico T cos q T L q h T T sen q mg R Un péndulo cónico consiste de una masa m giratoria en un círculo horizontal de radio R al extremo de una cuerda de largo L. T cos q q h T L R T q mg T sen q Nota: El componente interior de la tensiónT sen q requiere una fuerza central.

Resuelva las dos ecuaciones para encontrar el ángulo q Ángulo q y velocidad v: q h T L R mg T sen q T cos q Resuelva las dos ecuaciones para encontrar el ángulo q mv2 R T sen q = tan q = v2 gR T cos q = mg

Ejemplo 6: Una masa de 2-kg gira en un círculo horizontal atada al extremo de una cuerda de 10 m de largo. ¿Cuál es la velocidad constante de la masa si la cuerda hace un ángulo de 300 con la vertical? 1. Dibuje y trace un boceto. q = 300 q h T L R 2. Recuerde la fórmula del péndulo. Halle: v = ? 3. Para esta fórmula, debe encontrar R = ? R = L sen 300 = (10 m)(0.5) R = 5 m

Ejemplo 6 (cont.): Halle v para q = 300 R = 5 m 4. Use los datos para encontrar la velocidad a 300. R = 5 m g = 9.8 m/s2 Encuentre v = ? v = 5.32 m/s

Ejemplo 7: Ahora halle la tensión T en la cuerda si m = 2 kg, q = 300, y L = 10 m. mg T sen q T cos q 2 kg SFy = 0: T cos q - mg = 0; T cos q = mg T = = mg cos q (2 kg)(9.8 m/s2) cos 300 T = 22.6 N

Ejemplo 8: Halle la fuerza centrípeta Fc para el ejemplo. q h T L R mg T sen q T cos q q = 300 Fc 2 kg m = 2 kg; v = 5.32 m/s; R = 5 m; T = 22.6 N Fc = mv2 R or Fc = T sen 300 Fc = 11.3 N

Sillas giratorias Este problema es idéntico a los otros ejemplos, excepto que debe hallar R. q h T L R b d R = d + b R = L sen q + b tan q = v2 gR y v = gR tan q

Ejemplo 9. Si b = 5 m y L = 10 m, ¿cuál será la velocidad si el ángulo es q = 260? tan q = v2 gR q T L R d b R = d + b d = (10 m) sen 260 = 4.38 m R = 4.38 m + 5 m = 9.38 m v = 6.70 m/s

Movimiento en círculo vertical Considere las fuerzas en una pelota sujeta a una cuerda que da una vuelta vertical. v T mg Hacia arriba La tension es mínima, el peso ayuda a la fuerza Fc + + T mg v Derecha arriba El peso disminuye la tensión en T + v T mg Derecha arriba El peso no afecta a T + T mg v Abajo Tensión máxima T, W opuesta a Fc v T mg + Izquierda El peso no tiene efecto en T Note que la dirección positiva siempre es de aceleración, i.e., hacia el centro del círculo. + T mg v Abajo Dé click en el mouse para ver las nuevas posiciones.

La tensión T ajusta, así que el resultante central es 40 N. Como ejercicio, suponga que la fuerza central de Fc = 40 N es requerida para mantener el mivimiento circular de la pelota y W = 10 N. T 10 N + R v + T 10 N La tensión T ajusta, así que el resultante central es 40 N. Arriba: 10 N + T = 40 N T = _?_ T = 30 N Abajo: T – 10 N = 40 N T = 50 N T = __?___

Movimiento en círculo vertical Fuerza resultante hacia el centro R v Fc = mv2 R T mg Considere ARRIBA del círculo: mg + T = mv2 R ARRIBA: + T mg T = - mg mv2 R

Círculo vertical; Masa hacia abajo Fuerza resultante hacia el centro Fc = mv2 R R v T mg Considere ABAJO del círculo: T - mg = mv2 R Hacia arriba: T = + mg mv2 R T mg +

Ayuda visual: Suponga que la fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular es de 20 N. Con un peso de 5 N. R v Fuerza central resultante FC para todo punto de la trayectoria! FC = 20 N El vector peso W desciende a cualquier punto. W = 5 N, abajo FC = 20 N arriba Y abajo.

R v Arriba: T + W = FC WT + T + 5 N = 20 N T = 20 N - 5 N = 15 N + T W Ayuda visual: L fuerza resultante (20 N) es la suma del vector de T y W para todo punto de la trayectoria. R v FC = 20 N arriba Y abajo. Arriba: T + W = FC WT + T + 5 N = 20 N T = 20 N - 5 N = 15 N + T W Abajo: T - W = FC T - 5 N = 20 N T = 20 N + 5 N = 25 N

Movimiento en círculo v Hacia arriba: mv2 R + T = - mg R mg T Hacia abajo: T mg + T = + mg mv2 R

mg + T = mv2 R Más alto: R v T T = - mg mv2 R T = 5.40 N Ejemplo 10: Una piedra de 2-kg gira en un círculo vertical de 8 m de radio. La velocidad de la piedra en el punto más alto es de 10 m/s. ¿Cuál es la tensión T en la cuerda? mg + T = mv2 R Más alto: R v T mg T = - mg mv2 R T = 5.40 N T = 25 N - 19.6 N

T - mg = mv2 R Más bajo: R v T T = + mg mv2 R T = 44.6 N Ejemplo 11: Una piedra de 2-kg gira en un círculo vertical de 8 m de radio. La velocidad de la piedra en el punto más bajo es de 10 m/s. ¿Cuál es la tensión T en la cuerda? T - mg = mv2 R Más bajo: R v T mg T = + mg mv2 R T = 44.6 N T = 25 N + 19.6 N

Ejemplo 12: ¿Cuál es la velocidad crítica vc hacia arriba, si la masa de 2-kg continúa en un círculo de radio de 8 m? mg + T = mv2 R Hacia arriba: R v T mg vc cuando T = 0 mg = mv2 R vc = gR vc = 8.85 m/s v = gR = (9.8 m/s2)(8 m)

Dar vueltas Misma cuerda, n reemplaza a T HACIA ARRIBA: R v n = - mg mv2 R n mg + HACIA ABAJO: n mg + n= + mg mv2 R

Sillas giratorias n n = mg - n n = + mg R v mg - n = mv2 R Hacia arriba: n mg + n = mg - mv2 R Hacia abajo n mg + n = + mg mv2 R

El peso aparente será la fuerza normal hacia arriba: mg + R v Ejemplo 13: ¿Cuál es el peso aparente de una persona de 60-kg al pasar por el punto más alto cuando R = 45 m y la velocidad en ese punto es de 6 m/s? El peso aparente será la fuerza normal hacia arriba: mg - n = mv2 R n = mg - mv2 R n = 540 N

Aceleración centrípeta: RESUMEN Aceleración centrípeta: tan q = v2 gR v = msgR v = gR tan q Péndulo cónico:

Resumen: movimiento en círculo HACIA ARRIBA: mv2 + T = - mg R mg T v HACI ABAJO: T = + mg

Resumen: Sillas giratorias HACIA ARRIBA: n mg + HACIA ABAJO: mg - n = mv2 R n = + mg v n = mg -

CONCLUSIÓN: Capítulo 10 Uniform Circular Motion