Olimpiada Mátemática SAEM Thales Fase Provincial 09 de Marzo de 2019 Fase Regional 09 al 12 de Mayo de 2019

Problema nº 3: Circunferencias Traza cada una de las siguientes circunferencias en las situaciones que te planteamos:   A) Circunferencia que pasa por dos puntos. B) Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. C) Circunferencia que está a la misma distancia de cuatro puntos. Contesta de forma razonada: ¿cuántas circunferencias se pueden representar en cada uno de los casos anteriores? Solución

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado Vamos a comenzar por la primera situación, veamos cuántas circunferencias podremos trazar que pasen por dos puntos. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado Vamos a unir ambos puntos para construir el segmento que nos permitirá hallar gráficamente su punto medio. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Vamos a buscar el punto medio del segmento AB, y con centro en él vamos a trazar la circunferencia que pase por A o por B. Para hallar ese punto medio con el compás trazamos dos circunferencias, una con centro en A y radio AB y otra con centro en B y el mismo radio, el segmento AB. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Lo siguiente será buscar los puntos donde se cortan ambas circunferencias y unirlos. Acabamos de construir lo que se conoce como la mediatriz del segmento AB, que se cortará con AB en el punto medio, que llamaremos C. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Centrándonos en C y con radio CA o CB, tendremos nuestra circunferencia que pasa por A y B. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Vamos a la segunda situación, construir la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. Necesitamos encontrar el centro de la circunferencia que pasará por esos tres puntos. Para ello vamos a tener que construir las rectas perpendiculares a los segmentos AB y BC que pasan por sus puntos medios, son las que hemos llamado mediatrices de los segmentos. Para ello haremos igual que en la primera situación, y el punto de corte que llamaremos D, será el centro de la circunferencia que estamos buscando. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Nos vamos a la tercera situación, circunferencia que está a la misma distancia de cuatro puntos. Para poder representar esta situación debemos tener más cuidado y pensar un poquito más. Voy a construir una circunferencia que pase por A, B y C , desde ese centro que en este caso será el punto E, trazaré otra circunferencia de centro E que pase por D. Conseguiré dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro). Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 La circunferencia que estamos buscando es la que está entre las dos que hemos construido, a la misma distancia de una que de otra. Para buscarla trazamos la semirrecta EA, o EB, o EC o ED, cualquiera de ellas nos vale. Por ejemplo EA, que cortará a una circunferencia en A y a la otra en otro punto F. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Ahora buscaremos el punto medio del segmento AF, que llamaremos punto G, y ese será el punto por el que pasará la circunferencia que estamos buscando . Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Esta es la circunferencia: Como se puede apreciar, esta circunferencia deja tres puntos dentro y uno fuera de ella, pero los cuatro puntos están a la misma distancia de la circunferencia. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Esta tercera situación se podría haber resuelto de otro modo. Si construimos las mediatrices de los segmentos AD y BC, el punto de corte de ambas me dará un centro que me permitirá construir dos circunferencias. Una que pasa por A y D y otra que pasa por B y C, y ambas tienen el mismo centro. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Una vez que se tiene las dos circunferencias concéntricas se procede igual que en caso anterior, para construir una tercera circunferencia que se encuentre “entre ambas” equidistantes a ellas y que está a igual distancia de los cuatro puntos dados. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Ahora no es tan “evidente” esta igualdad de distancias, pero podríamos construir los segmentos desde cada uno de los puntos y comprobaríamos que miden lo mismo. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Finalmente nos preguntan cuántas circunferencias se pueden construir en cada situación. Si comenzamos con aquellas que pasan por dos puntos, podríamos encontrar “muchas”. Todas aquellas que tengan su centro en “cualquier” punto que esté en la mediatriz, y que pase por A o B. Y como los puntos que podemos elegir de la mediatriz son infinitos, pues podremos construir infinitas circunferencias que pasen por A y B. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 En la situación de la circunferencia que pasa por tres puntos (A, B y C) no alineados. La circunferencia es única, y no existe otra diferente que pase por ellos. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Para la tercera situación, vamos a distinguir entre las que dejan tres puntos dentro y uno fuera, o uno dentro y tres fuera (caso 1), y las que dejan dos puntos fuera y dos dentro (caso 2). Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Caso 1: Elegimos A, B y C para construir la circunferencia base, pero esta elección podría haber sido A, C y D; o A, B y D; o también B, C y D. Lo cual nos lleva a la conclusión de que habría cuatro circunferencias con esas condiciones, dejando A, B ,C dentro y D fuera; o dejando A, C, D dentro y B fuera; o dejando A, B, D fuera y C dentro; o dejando B, C, D fuera y A dentro de la circunferencia. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 3 Caso 2: Hemos elegido dos a dos los puntos para hallar las respectivas mediatrices de los segmentos AD y BC. Pero podríamos haber elegido los puntos para trazar las mediatrices de AB y CD , o también de AC y BD. Esto nos lleva a poder construir tres circunferencias, la que hemos expuesto anteriormente y estas dos más. Enunciado

Resumiendo: SOLUCIÓN del Problema 3 Se pueden construir infinitas circunferencias que pasan por dos puntos. Se puede construir una única circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. Se pueden construir siete circunferencias que equidistan de cuatro puntos, tres de ellas con dos puntos dentro y dos fuera, y otras cuatro que dejan tres dentro y uno fuera (dos de ellas) o uno dentro y tres fuera (las otras dos). Hemos encontrado las soluciones, pero ¿habrá más formas de conseguirlas? Enunciado

Olimpiada Mátemática SAEM Thales GRACIAS por vuestra atención