FACULTAD DE ECONOMÍA UNAM Maestría en Economía LABORATORIO DE ECONOMETRÍA 2006 Pruebas de diagnostico en el modelo Econométrico Prof. Eduardo Alatorre

Normalidad

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría El modelo se distribuye como una función de densidad de probabilidad normal f ( ) ÷ ø ö ç è æ - = b ps X y n x ´ 2 1 exp / El condicionamiento de la variable dependiente al conjunto de variables independientes se distribuye como una normas Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Implicaciones: Los estimadores se distribuyen como una función de distribución normal Las siguientes pruebas de hipótesis son validas t-Student´s F-estadística c2 ji-cuadrada Pruebas de pronóstico Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Prueba de Normalidad Se pude determinar por medio del tercer y cuarto momento central de la distribución Primer momento. La media de la distribución E(x) = m Segundo momento. La varianza de la distribución Var(x) = s2 Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Distribución normal E(x) Var(x) Tercer momento. Sesgo de la distribución Coeficiente de simetría Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría E(x) E(x) Sesgo a la derecha Sesgo a la izquierda Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría E(x) Var(x) Simétrica Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Cuarto momento. Curtosis E(x) Leptocúrtica Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Platicúrtica E(x) E(x) Var(x) Mesocúrtica Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Prueba Jarque-Bera(1987). Utiliza un estadístico en prueba que involucra la curtosis y la asimetría. Hipótesis nula H0: a3=0 y a4 -3 =0 Hipótesis alternativa H1: a3, dif 0 y a4 -3 dif 0 Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Combina las dos distancias: Combina las dos distancias: Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría El estadístico para la prueba se distribuye como una ji-cuadrada con 2 grados de libertad A un nivel de significancia del 5% el estadístico JB tiene como valor crítico el 5.99 Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Horacio Catalán Alosno Econometría Taller de Econometría Consecuencias por la ausencia de normalidad en los errores Las pruebas de hipótesis consideradas para realizar inferencia estadística no son adecuadas Causas que generan el problema Las series utilizadas en el modelo no se distribuyen como una normal Presencia de valores extremos en la serie Horacio Catalán Alonso Horacio Catalán Alosno

Autocorrelación

Las causas de la autocorrelación: Econometría La autocorrelación se define como la existencia de correlación entre ut con sus valores pasados: Las causas de la autocorrelación: La omisión de variables relevantes en la ecuación estimada (Steward y Wallis, 1981) Transformaciones en las ecuaciones o ajustes estaciónales (Davinson, Hendry, Srba, Yeo, 1978) La presencia de rezagos en el proceso de ajuste que no fueron considerados en la ecuación inicial. Horacio Catalán Alonso

Problemas de Autocorrelación Econometría Problemas de Autocorrelación 1) Los MCO siguen dando estimadores insesgados y consistentes cuando se utilizan variables exógenas en la ecuación inicial 2) Los MCO proporcionan estimadores sesgados e inconsistentes en el caso en que se utilizan variables endógenas en la ecuación inicial: Horacio Catalán Alonso

2.a) Los estimadores no tienen varianza mínima Econometría 2.a) Los estimadores no tienen varianza mínima 2.b) Las estimaciones de los errores estándar tienden por lo general a subestimar al valor real lo que se traduce en la obtención de pruebas t que rechazan excesivamente la hipótesis nula (Steward y Wallis, 1981, Maddala,1988) 2.c) Las predicciones muestran, por lo general, valores más elevados que los normalmente esperados (Steward y Wallis, 1981) Horacio Catalán Alonso

La función de autocorrelación se define como: Econometría La función de autocorrelación se define como: Donde los intervalos de confianza están dados por: Horacio Catalán Alonso

n representa el número de observaciones Econometría n representa el número de observaciones Los valores fuera de estas bandas indican la presencia de autocorrelación La estimación y detección apropiada de la autocorrelación requiere que la serie corresponda a un proceso estacionario Horacio Catalán Alonso

Caso simple (Maddala, 1988): (5) et = et-1+ vt Econometría Caso simple (Maddala, 1988): (5) et = et-1+ vt Cuando  es estacionario → la media y la covarianza son constantes (Judge et al 1982, p.385): (6) Et(etet-k) = Et(eses-k) (7) Et(e2t) = Et(e2t-k) Horacio Catalán Alonso

Combinando las ecuaciones (6) y (7) se obtiene: Econometría Combinando las ecuaciones (6) y (7) se obtiene: En el caso de una serie estacionaria, la autocorrelación se define como: Donde la función de autocorrelación aparece como: Horacio Catalán Alonso

Econometría Durbin Watson La prueba Durbin Watson se define como la razón de la suma del cuadrado de la primera diferencia de los residuales con respecto a la suma del cuadrado de los residuales (Greene, 1991 y Steward y Wallis, 1981): La hipótesis nula (HO) es que no existe autocorrelación. Horacio Catalán Alonso

Econometría Una aproximación, para grandes muestras, a esta prueba puede obtenerse utilizando (Maddala, 1988): (12) d = 2(1-) Donde et =et-1+vt Horacio Catalán Alonso

Econometría La ecuación (12) indica que cuando d difiere sustancialmente de dos entonces existe la posibilidad de autocorrelación serial La ecuación (12) indica que si la autocorrelación es cero (=0) entonces d=2 Por el contrario si existe autocorrelación positiva (0<<1) entonces 0<d<2 y si existe una autocorrelación negativa (-1<<0) entonces 2<d<4 Horacio Catalán Alonso

rechazar aceptar Ho rechazar Econometría CUADRO 1 donde dl es el limite inferior y du es el límite superior. El cuadro 1 puede interpretarse de la siguiente forma: d<dl implica que Ho se rechaza. d>du implica que Ho no se rechaza d<d<du la prueba no es concluyente rechazar aceptar Ho rechazar 0 dl du 2 4-du 4-dl 4 Horacio Catalán Alonso

Econometría La Durbin Watson es válida solo cuando las variables incluidas en la ecuación son exógenas. Durbin Watson pierde potencia cuando se incluyen los valores rezagados de la variable dependiente en la ecuación de regresión. En este caso el valor del estadístico d esta sesgado hacia 2 y puede por tanto indicar la independencia serial cuando en realidad existe un problema de autocorrelación. Horacio Catalán Alonso

Econometría H-Durbin La prueba H de Durbin sigue siendo válida cuando se incluyen valores rezagados de la variable dependiente: La H de Durbin se define como: Horacio Catalán Alonso

y V representa la varianza estimada de Econometría donde y V representa la varianza estimada de Horacio Catalán Alonso

La prueba H de Durbin es equivalente a estimar la siguiente regresión: Econometría La prueba H de Durbin es equivalente a estimar la siguiente regresión: Donde se analiza la significancia estadística de El análisis de es similar a incluir a et-1 en esta ecuación y analizar su significancia estadística Horacio Catalán Alonso

La prueba del Multiplicador de Lagrange Econometría La prueba del Multiplicador de Lagrange Asumiendo que los errores son autorregresivos de orden p entonces Se estima la siguiente regresión: El estadístico se distribuye como Horacio Catalán Alonso

El estadístico se distribuye como Econometría Opción alternativa: El estadístico se distribuye como De este modo, se rechaza la hipótesis nula de independencia serial si nR2 es mayor que el valor seleccionado de X2(). Horacio Catalán Alonso

Corrección de Autocorrelación Econometría Corrección de Autocorrelación Opciones: 1. Transformando a la ecuación inicial 2. Problema de especificación Horacio Catalán Alonso

Transformación de la Ecuación Original Econometría Transformación de la Ecuación Original Considerando el caso de dos variables se tiene que: Suponiendo un proceso autorregresivo de primer orden: Horacio Catalán Alonso

sin autocorrelación serial Econometría Se desprende que: sin autocorrelación serial Horacio Catalán Alonso

Econometría Cochrane Orcutt La prueba de Cochrane Orcutt estima el modelo inicial dado por:   (22) yt = 0 + Σ 1xit + ut Suponiendo un número de rezagos de la autocorrelación: (23) et = Σ ixit + vt De donde puede obtenerse : (24)  = Σ (etet-1) / Σ e2t-1) Horacio Catalán Alonso

Econometría El segundo paso es re-estimar por MCO la ecuación original modificada utilizando el valor obtenido de  para transformar la ecuación:   Esta nueva ecuación se utiliza nuevamente para obtener estimaciones de : Este procedimiento se realiza iterativamente hasta que las estimaciones de  convergen. Horacio Catalán Alonso

El Método de Durbin Watson en dos etapas Econometría El Método de Durbin Watson en dos etapas Estimar por MCO la siguiente ecuación para obtener .   (27) Con esta estimación inicial de  se transforma la ecuación original y se estima entonces la ecuación transformada: (28) Horacio Catalán Alonso

El Método de Difrenciación y de Ajuste Dinámico Econometría El Método de Difrenciación y de Ajuste Dinámico Bajo el supuesto de que =1 entonces la ecuación (28) puede escribirse con las variables en primeras diferencias:    Corrige autocorrelación, pierde información Horacio Catalán Alonso

Autocorrelación y los problemas de especificación Econometría Autocorrelación y los problemas de especificación Suponiendo que la autocorrelación es de orden uno:   Solución al problema de la autocorrelación: Este modelo sin embargo es similar a estimar: Horacio Catalán Alonso

Con la restricción de que 1 2 = -3 Econometría   Con la restricción de que 1 2 = -3 Horacio Catalán Alonso

Heteroscedasticidad

Supuesto: Varianza constante en el modelo Econometría Taller de Econometría La heteroscedasticidad se define como cambios de la varianza del término de error de la ecuación estimada Supuesto: Varianza constante en el modelo Horacio Catalán Alonso

Problema de Heteroscedasticidad Econometría Taller de Econometría Problema de Heteroscedasticidad La varianza no es constante y es una función de las variables explicativas del modelo En términos más generales:   Donde no se tiene elementos idénticos en la diagonal Horacio Catalán Alonso

Implicaciones del supuesto Econometría Taller de Econometría Implicaciones del supuesto Los estimadores son eficientes, es decir presentan la menor varianza Desarrollando Horacio Catalán Alonso

La matriz de varianzas y covarianzas puede ser expresada como Econometría Taller de Econometría La matriz de varianzas y covarianzas puede ser expresada como Se requiere que la varianza sea finita. Lo cual se cumple siempre y cuando los elementos de W sean finitos Horacio Catalán Alonso

Representación matricial Econometría Taller de Econometría Representación matricial Horacio Catalán Alonso

White: Términos no Cruzados Econometría Taller de Econometría White: Términos no Cruzados Esta prueba asume que la heteroscedasticdad es función de la variables independientes de la ecuación inicial Horacio Catalán Alonso

Econometría Taller de Econometría Esta prueba se distribuye como una Chi cuadrada con el número de grados de libertad dados por el número de variables incluidas en la regresión auxiliar sin incluir la constante Horacio Catalán Alonso

White: Términos Cruzados Econometría Taller de Econometría White: Términos Cruzados Horacio Catalán Alonso

Econometría Taller de Econometría ARCH (1): Esta prueba se basa en la estimación de una regresión que incluye los valores rezagados al cuadrado de los residuales de la ecuación original. La hipótesis nula es que no existe heteroscedasticidad Está hipótesis se rechaza si los coeficientes de la ecuación son estadísticamente significativos. La prueba se distribuye como una Chi con ρ grados de libertad Horacio Catalán Alonso

Econometría Taller de Econometría Horacio Catalán Alonso

2. Los estimadores de la varianza son sesgados Econometría Consecuencias: 1. Los MCO siguen siendo insesgados y consistentes pero son ineficientes. Esto es la varianza ya no es mínima pero el uso de los MCO sigue siendo válido al menos en muestras grandes no obstante que no representa un uso eficiente de la información 2. Los estimadores de la varianza son sesgados 3. Como consecuencia de que las estimaciones de la varianza ya no son mínimas entonces las pruebas de la significancia basadas en los t disminuyen su poder Horacio Catalán Alonso

1. Problemas de especificación Econometría Causas: 1. Problemas de especificación 2. Variación en los coeficientes estimados 3. Problemas de agrupación de los datos Horacio Catalán Alonso

Soluciones para la Heteroscedasticidad Econometría Soluciones para la Heteroscedasticidad 1. Especificación dinámica 2. Utilizarse estimaciones por mínimos cuadrados generalizados en donde se conoce o especifica a priori la forma de la heteroscedasticidad 3. Reespecificar la ecuación original Horacio Catalán Alonso

Cambio Estructural o Estabilidad en los Parámetros

Econometría Una de las hipótesis estructurales del modelo es la constancia de los parámetros del modelo de regresión, es decir la existencia de una estructura única, valida para todo el periodo de observación y que se mantenga para el horizonte de predicción Modelo general El no cumplimiento del supuesto de estabilidad de los coeficientes, implica consecuencias serias, en primer lugar la estimación de los coeficientes produce resultados incorrectos, y en segundo lugar, porque las proyecciones resultan erróneas. Horacio Catalán Alonso

Supuesto: Parámetros invariantes en el tiempo Econometría Supuesto: Parámetros invariantes en el tiempo Modelo general El valor de los estimadores no cambia en el tiempo Cambio Estructural.- Es un cambio en el valor de los parámetros Horacio Catalán Alonso

1) La media condicional del modelo cambia en el tiempo. Econometría 1) La media condicional del modelo cambia en el tiempo. Los resultados que se obtienen no son confiables. El modelo no aproxima adecuadamente la evolución de la serie 2) El modelo no es adecuado para realizar pronóstico Horacio Catalán Alonso

Causas que generan el problema: Econometría Causas que generan el problema: Problemas de especificación en el modelo. Es necesario incorporar más información. 2) La variable dependiente presenta cambio estructural. Debido a choque externos ó medidas de política que han afectado su evolución Horacio Catalán Alonso

Para probar la existencia o no de estabilidad se han Econometría Para probar la existencia o no de estabilidad se han desarrollado diferentes pruebas entre las cuales están las conocidas como CUSUM, CUSUMSQ y CHOW. Horacio Catalán Alonso

Chow de Cambio Estructural Econometría Chow de Cambio Estructural La prueba clásica para un cambio estructural es atribuida a Chow (1960). Su famoso procedimiento divide la muestra en dos subperíodos, estima los parámetros para cada subperíodo y luego prueba la igualdad entre los dos conjuntos de parámetros utilizando un estadístico F clásico Horacio Catalán Alonso

Supóngase el siguiente modelo : Econometría Supóngase el siguiente modelo : Consideramos que la muestra de t = 1,..., T Se elige una fecha de cambio estructural t = n Esa fecha divide en dos ala muestra T = T1 + T2 Horacio Catalán Alonso

La segunda estimación comprende a partir de la fecha de cambio Econometría Se realizan dos estimaciones La segunda estimación comprende a partir de la fecha de cambio H0: b1 = b2 H1: b1 distinto a b2 Horacio Catalán Alonso

k.- No. de parámetros en la ecuación T.- total de datos Econometría k.- No. de parámetros en la ecuación T.- total de datos RSST.- suma de errores al cuadrado de toda la muestra RSST1.- suma de errores al cuadrado de la muestra T1 RSST2.- suma de errores al cuadrado de la muestra T2 Horacio Catalán Alonso

Estimación por mínimos cuadrados recursivos Econometría Estimación por mínimos cuadrados recursivos Es una serie de estimaciones por MCO. Donde la muestra para cada estimación se incrementa sucesivamente. i =1, ..., T Horacio Catalán Alonso

Prueba de Residuales Recursivos Econometría Prueba de Residuales Recursivos La posible inestabilidad de las funciones podría verificarse examinando el comportamiento de los residuos que generan las estimaciones recursivas de esos ajustes Se genera una serie de estimadores. Su representación gráfica permite observar como el estimador cambia en el tiempo Horacio Catalán Alonso

Econometría Por estimaciones recursivas se entienden aquellas en que la ecuación se estima repetidamente, con la utilización siempre del mayor subconjunto de los datos muestrales Si hay k coeficientes por estimar en el vector b, entonces las primeras k observaciones se utilizan para calcular la primera estimación del vector. La siguiente observación se incorpora al conjunto de datos y todas las (k + 1) se utilizan para obtener la segunda estimación del vector Horacio Catalán Alonso

El error de pronóstico a un paso se conoce como "residuos recursivos" Econometría Ese proceso continua hasta que se hayan empleado los n puntos muestrales, es que se produce (n-k) estimaciones del vector b. En cada paso la última estimación del vector se puede usar para predecir el próximo valor de la variable dependiente. El error de pronóstico a un paso se conoce como "residuos recursivos" Horacio Catalán Alonso

Prueba Medida estandarizada Para t= k+1, ..., T Econometría Horacio Catalán Alonso

Se construye la suma acumulada CUSUM Econometría Se construye la suma acumulada CUSUM Se espera que E(Wt)=0 pero si los parámetros no son constantes diverge del cero Horacio Catalán Alonso

Límites de no rechazo a=0.05 a= 0.948 Econometría Límites de no rechazo a=0.05 a= 0.948 El gráfico de esos residuos -o la suma acumulada de estos- denominada CUSUM- en el tiempo permite verificar desviaciones sistemáticas de éstos desde su línea de cero que es el valor esperado Horacio Catalán Alonso

Econometría k T Horacio Catalán Alonso

Econometría Cusum cuadrado (CUSUMSQ). Una medida alternativa, aunque no equivalente a utilizar CUSUM, consiste en emplear los cuadrados de los residuos recursivos. De nuevo, la suma acumulada en el tiempo de estos residuos al cuadrado, conocida como CUSUM al cuadrado, permite comprobar desviaciones no aleatorias desde su línea de valor medio La serie de CUSUM al cuadrado (CUSUMSQ), debidamente estandarizada, tiene un valor esperado que va de cero en t=1 hasta uno al final de la muestra, t=T Horacio Catalán Alonso

Econometría CUSUM SQR Horacio Catalán Alonso

Econometría “La interpretación de los resultados de los tests CUSUM y CUSUMSQ, requiere, no sólo del dominio de la técnica de cálculo, sino también de una documentación pormenorizada acerca de las políticas y acontecimientos económicos del período en estudio, ello para el análisis de los puntos que se salen de las bandas.” Horacio Catalán Alonso

Linealidad

Supuesto de Linealidad Econometría Taller de Econometría Supuesto de Linealidad Modelo general El modelo es lineal respecto a X Donde g(X) es una función lineal que depende del conjunto de variables Horacio Catalán Alonso

Implicaciones del supuesto: Econometría Taller de Econometría Implicaciones del supuesto: Permite garantizar el uso adecuado del método de estimación de mínimos cuadrados RSS = U‘U = (Y - Xb)'(Y - Xb) = (Y – g(X))'(Y – g(X)) Si g(x) es lineal se puede aplicar un método de optimización lineal a fin obtener un valor de los estimadores Horacio Catalán Alonso

Los estimadores son insesgados Econometría Taller de Econometría Los estimadores son insesgados Aplicando valor esperado Horacio Catalán Alonso

Si no se cumple el supuesto: Econometría Taller de Econometría Si no se cumple el supuesto: La función g(X) no es lineal el método de estimación no es adecuado Los estimadores son sesgados Si la función g(X) no es lineal puede ser aproximada por una finción polinómica Horacio Catalán Alonso

Especificación de la prueba Econometría Taller de Econometría Especificación de la prueba Las pruebas utilizadas para comprobar linealidad en el modelo. Se basan en rechazar que el modelo se pruede aproximar como una función polinómica Hipótesis nula H0: Lineal Hipótesis alternativa H1: No lineal Horacio Catalán Alonso

Econometría Taller de Econometría Prueba RESET Ramsey (1969), “Test for specification in classical linear least squared regression analysis “, Journal of the royal statistical society B, vol. 31 pp. 350-371 modelo estimación Aproximación a la función polinómica Horacio Catalán Alonso

Se obtiene la estimación Econometría Taller de Econometría Sea el modelo Se obtiene la estimación Se planeta la regresión auxiliar Se obtiene Horacio Catalán Alonso

Sustituyendo la estimación de Y^ al cuadrado Econometría Taller de Econometría Sustituyendo la estimación de Y^ al cuadrado Reordenando Que es equivalente a: Horacio Catalán Alonso

Se plantea la siguiente prueba de hipótesis Econometría Taller de Econometría RESET (1) Se plantea la siguiente prueba de hipótesis Hipótesis nula el modelo es lineal Hipótesis alternativa el modelo NO ES LINEAL Horacio Catalán Alonso

Modelo sin restricción Econometría Taller de Econometría Prueba F Modelo sin restricción Modelo con restricción Se definen URSS.- suma de errores al cuadrado de la regresión sin restricción RRSS.- suma de errores al cuadrado de la regresión CON restricción Horacio Catalán Alonso

m es el número de restricciones Econometría Taller de Econometría m es el número de restricciones k los grados de libertad sobre la regresión de la hipótesis alternativa Horacio Catalán Alonso

Se plantea la siguiente prueba de hipótesis Econometría Taller de Econometría RESET(2) Se plantea la siguiente prueba de hipótesis Hipótesis nula el modelo es lineal Hipótesis alternativa el modelo NO ES LINEAL Horacio Catalán Alonso

Referencias Bera a. y C. Jarque(1980). “Efficient Test for Normality, Hetroscedasticity and Serial Independence of Regression Residuals. Economic Letters, 6, pp. 255-259. Brown, R., J. Durbin y J. Evans (1975), “Techniques for testing the Constancy of Regression Relationships Over Time”. Journal of the Royal Statistical Society, 37, pp.149-192. Doornick, J. A. Y D. F. Hendry (1992), PC GIVE: An interactive Econometric Modelling System, versión 7. University of Oxford, agosto, pp. 262. Engle, R.F. (1983), “Wald, Likelihood ratio and Lagrange Multiplier tests in Econometrics”, en Handboo k in Econometrics, K. Arrow y M. Intrilligator (eds), vol. II, North Holland, pp. 776-826.

Greene, W. H. (1991), Econometric Analysis Greene, W. H. (1991), Econometric Analysis. Maxwell MacMillan International, pp.783. Hendry, D.H. y G Mizon (1978), “Serial Correlation as a Convenient Simplification, not a nuisance: a Comment on a Study of the Demand for Money by the Bank of England”.Economic Journal, 88, septiembre, pp. 549-563. Johnston, J. (1984), Econometric Methods. McGraw Hill. Judge, G., R. Hill, W. Griffiths, T. Lee y H Lutkepol (1982), An Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley.

Maddala, G. S. (1988), Introduction to Econometrics Maddala, G.S. (1988), Introduction to Econometrics. Maxwell MacMIllan International Editions, pp. 472 Spanos, A. (1986), Statistical Foundations of Econometric Modelling. Cambridge University Press, pp. 695. Steward M. B. y K. F. Wallis (1981), Introductory Econometrics. Basil Blackwell LTD, pp. 337. White, H. (1980), “ A Heteroscedasticity-Consistent Covariance matrix Estimator and a Direct Test for Heteroscedasticity”. Econometrica. Núm. 48, pp. 817-838.

FACULTAD DE ECONOMÍA UNAM Maestría en Economía LABORATORIO DE ECONOMETRÍA 2006 Pruebas de diagnostico en el modelo Econométrico Prof. Eduardo Alatorre