Ecuaciones Diferenciales Ordinarias CAPÍTULO 1

Contenidos 1.1 Definiciones y Terminología 1.2 Problemas de Valor Inicial 1.3 Ecuaciones Diferenciales como Modelos Matemáticos

1.1 Definiciones y Terminología Introducción: ecuaciones diferenciales significa que contienen derivadas, por ejemplo: dy/dx = 0.2xy (1) Ecuación Diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. ED Ordinaria (EDO): Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente. Por ejemplo: dy/dx + 5y = ex, (dx/dt) + (dy/dt) = 2x + y (2) DEFINICIÓN 1.1

Notaciones: Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2 ED Parcial: Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. (3) Notaciones: Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2 Notación con primas y’, y”, ….. Notación de subíndice ux, uy, uxx, uyy, uxy , …. Orden: el orden más alto de la derivadas. segundo orden primer orden Es una ED de segundo orden

Forma general de orden n EDO: (4) Forma normal de (4): (5) por ejemplo, forma normal de 4xy’ + y = x, es y’ = (x – y)/4x Linealidad: Una ODE de orden n es lineal si F es lineal en y, y’, y”, …, y(n). Esto significa que cuando (4) es lineal, tenemos (6)

Los casos siguientes son para n=1 y n=2: (7) Dos propiedades de una EDO: 1) y, y’, y”, … son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la variable independiente x. Ejemplos no lineales:

Solución de EDO Cualquier función  , definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de al ecuación en el intervalo DEFINICIÓN 1.2

Ejemplo 1 Comprobar que la función indicada es la solución de la EDO dada en (－, ) (a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 (b) Solución: (a) lado izquierdo : lado derecho, derecha = izquierda: (b) Derivando en la ecuación de la derecha e igualando: Nótese que y=0 también es la solución del ejemplo 1, llamada solución trivial.

Ejemplo 2 Función vs Solución y = 1/x es al solución de xy’ + y = 0, sin embargo esta función no es diferenciable en x = 0. por tanto el intervalo de definición I es (-, 0), (0, ). Fig. 1.1

Por ejemplo: solución is y = (x). Solución implícita de una EDO Solución explícita: la variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes. Por ejemplo: solución is y = (x). Solución implícita de una EDO Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO (4) en un intervalo I, siempre que exista al menos una función  que satisface tanto la relación como la ED DEFINICIÓN 1.3

Ejemplo 3 x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = −x/y (8) en el intervalo -5 < x < 5. dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25) luego 2x + 2y(dy/dx) = 0 and dy/dx = -x/y la curva solución está representada en Fig. 1.2

Fig. 1.2

Familias de soluciones: Una solución que contiene una constante arbitraria representa el conjunto G(x,y) = 0 de soluciones, llamado familia uniparamétrica de soluciones. Un conjunto G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0 de soluciones se llama familia no paramétrica de soluciones. Solución particular: Solución libre se de parámetros arbitrarios. Por ejemplo : y = cx – x cos x es una solución de xy’ – y = x2 sin x en (-, ), y = x cos x es una solución particular según c = 0. (Fig, 1.3)

Fig. 1.3

Ejemplo 4 x = c1cos 4t y x = c2 sen 4t son soluciones de x + 16x = 0 podemos comprobar fácilmente que x = c1cos 4t + c2 sin 4t es también una solución.

Ejemplo 5 Podemos comprobar que y = cx4 es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ). (Fig. 1.4(a)) La función definida a trozos es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0 y c = 1 para x  0. (Fig. 1.4(b))

Fig. 1.4

Solución singular: Una solución que no puede obtenerse mediante sustitución de algún parámetro. y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de dy/dx = xy1/2 , mientras que y = 0 es una solución de la ED anterior. No podemos encontrar ningún valor de c para obtener al solución y = 0, así que llamamos a y = 0 solución singular.

Sistema de EDs: dos o más ecuaciones con dos o más funciones desconocidas de una variable independiente singular. dx/dt = f(t, x, y) dy/dt = g(t, x, y) (9)

1.2 Problemas de Valor Inicial Introducción: Una solución y(x) de una ED satisface una condición inicial. Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo resolver sujeta a A esto se le llama Problema de Valor Inicial. y(xo) = yo , y(xo) = y1 , reciben el nombre de condiciones iniciales.

PVIs de primer y segundo orden resolver: sujeta a: (2) Y sujeta a: (3) son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. (Fig. 1.7 y 1.8)

Fig. 1.7 Fig. 1.8

Ejemplo 1 Sabemos que y = cex es la solución de y’ = y en (-, ). Si y(0) = 3, entonces 3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución de este problema de valor inicial. Si queremos una solución que pase por(1, -2), es decir y(1) = -2, -2 = ce, c = -2e-1. (Fig1.9) Fig1.9

Ejemplo 2 En el problema 6 de la sec. 2.2, tenemos la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si imponemos (0) = -1, obtenemos c = -1. Considérense las siguientes distinciones: 1) Como función, El dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1. (Fig1.10(a)) 2) Como una solución, los intervalos de definición son (-, 1), (-1, 1), (1, ) 3) Como un problema de valor inicial, y(0) = -1, el intervalo de definición es (-1, 1). (Fig. 1.10)

Fig. 1.10

Ejemplo 3 En el ejemplo 4 de la sec. 1.1, observamos que x = c1cos 4t + c2sen 4t es una solución de x + 16x = 0 Hallar una solución del siguiente PVI: x + 16x = 0, x(/2) = −2, x(/2) = 1 (4) Solución: Sustituimos x(/2) = − 2 en x = c1cos 4t + c2sen 4t, obtenemos c1 = −2. De la misma manera, a partir de x(/2) = 1 obtenemos c2 = ¼.

Existencia y Unicidad: ¿Existe una solución del PVI? Si existe una solución, ¿es única?

Ejemplo 4 Ya que y = x4/16 e y = 0 satisfacen la ED dy/dx = xy1/2 , y también el valor inicial y(0) = 0, Esta ED tiene al menos dos soluciones (Fig. 1.11) Fig1.11

Existencia de una solución única TEOREMA 1.1 Existencia de una solución única Sea R la región rectangular definida por a  x  b, c  y  d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io: xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a  x  b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI (2). La geometría del Teorema 1.1 se muestra en Fig. 1.12

Fig. 1.12

Ejemplo 5 Para la ED: dy/dx = xy1/2 , la inspección de las funciones muestra que son continuas en y>0. Basándonos en el Teorema 1.1 concluimos que para cada punto (xo, yo), yo > 0 existe un intervalo centrado en xo en el cual esta ED tiene una solución única.

Intervalo de Existencia y Unicidad Suponiendo que y(x) es una solución del PVI (2), los siguientes conjuntos pueden no ser los mismos: el dominio de y(x), el intervalo de definición de y(x) como solución, el intervalo Io de existencia y unicidad.

1.3 EDs como Modelos Matemáticos Introducción: Modelos matemáticos son descripciones matemáticas de algo. Nivel de resolución: Se hacen unas suposiciones razonables sobre el sistema. Los pasos del proceso de modelación son los siguientes:

Formulación Suposiciones matemática Se comprueban las predicciones Se expresan las suposiciones en términos de ecuaciones diferenciales Suposiciones Formulación matemática Si es necesario, Se modifican las suposiciones o se aumentan la resolución del modelo Se resuelven las EDs Se comprueban las predicciones del modelo con hechos conocidos Se muestran las predicciones del modelo, Por ejemplo gráficamente Se obtiene la solución

Dinámica Poblacional Si P(t) representa la población en el tiempo t, entonces dP/dt  P ó dP/dt = kP (1) donde k es una constante de proporcionalidad, y k > 0. Desintegración Radiactiva Si A(t) representa la cantidad de sustancia restante en el tiempo t, entonces dA/dt  A ó dA/dt = kA (2) donde k es una constante de proporcionalidad, y k < 0. Una sola ED puede servir como un modelo matemático para michos fenómenos.

La ley de Newton del Enfriamiento/Calentamiento Si T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio, entonces dT/dt  T - Tm ó dT/dt = k(T - Tm) (3) donde k es una constante de proporcionalidad.

Extensión de una Enfermedad Si x(t) representa el número de personas que se han contagiado de una enfermedad e y(t) el número de personas que todavía no, entonces dx/dt = kxy (4) donde k es una constante de proporcionalidad. Por la descripción anterior, imagínese una comunidad con una población fija n, si se introduce en esta comunidad una persona infectada, tenemos x + y = n +1, y dx/dt = kx(n + 1 – x) (5)

Observe al siguiente reacción: Reacciones Químicas Observe al siguiente reacción: CH3Cl + NaOH  CH3OH + NaCl Asumimos que X es la cantidad de CH3OH,  y  son las cantidades de los reactivos, entonces la velocidad de reacción es dx/dt = k( - x)( - x) (6)

Mezclas Fig. 1.19. Si A(t) representa la cantidad de sal en el tanque en tiempo t, entonces dA/dt = velocidad de entrada – velocidad de salida = Rentrada - Rsalida (7) Tenemos Rentrada = 6 lb/min, Rsalida = A(t)/100 (lb/min), entonces dA/dt = 6 – A/100 ó dA/dt + A/100 = 6 (8)

Fig. 1.19

Drenaje de un Tanque Haciendo referencia a la Fig. 1.20 y basándose en la Ley de Torricelli, si V(t) representa el volumen de agua en el tanque en tiempo t, (9) A partir de (9), como tenemos que V(t) = Awh, entonces: (10)

Fig. 1.20

Circuitos en Serie Fig. 1.12 a partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos: (11) donde q(t) es la carga y dq(t)/dt = i(t) es la intensidad de corriente.

Fig. 1.21

Caída de los cuerpos Fig. 1.22 A parir de la 1ª Ley de Newton tenemos (12) Problema de valor inicial (13)

Fig. 1.22

Caída de los Cuerpos y la Resistencia del Aire Fig. 1.23 Tenemos la ED (14) y puede escribirse como ó (15)

Fig. 1.23

Deslizamiento de cadena Fig. 1.24. Tenemos ó (16)

Fig. 1.24

Cables Suspendidos Fig. 1.25 Tenemos dy/dx = W/T1 (17)

Fig. 1.25

Fig. 1.26 Fig. 1.26 explica el Elemento de un cable.