Lección 3: Conceptos básicos

OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA Es el único procedimiento (frente a optimización gráfica y analítica que permite abordar problemas complejos. Problema: dificultad en encontrar el óptimo global en algunos casos. Normalmente sólo conocemos el valor de un punto (xk y f(xk)) y alguna información local adicional (derivadas,…) ¿Cómo continuo? Procedimiento básico de optimización numérica Determinar un buen siguiente punto que mejore la función objetivo Comprobar si se puede seguir mejorando. Si se puede volver al punto 1. Parar en un mínimo local.

OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA Optimización numérica empleando información local A partir del punto inicial, cómo decidimos: La dirección del cambio La distancia en esa dirección Si es posible mejorar más x1 x2

OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA La ecuación básica: x1 x2

NUMERICAL OPTIMIZATION escalar vector Determina el tamaño del cambio  >0 Determina la dirección del cambio Dx >0

NUMERICAL OPTIMIZATION ¿Cómo determinamos  and x? ¿Cómo sabemos cuando parar? Debe permanecer en la región factible No es demasiado grande, hace que la función objetivo pueda disminuir Una dirección posible Que mejore la función objetivo

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES Una región es convexa si todos los puntos de una línea que conecta dos puntos de la región están en dicha.

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES Convexidad y la función objetivo. Una función de x (vectorial) es convexa si cumple: Donde 0    1. ¿Es convexa esta función? f(x) x

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES La minimización de una función convexa sobre una región convexa tiene la siguiente propiedad: Programación convexa ¡Un mínimo local es también un mínimo global!

CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES ¿Es convexa la función objetivo de la figura? x2 x1

Help us understand optimization PROBLEM FEATURES Help us understand optimization We want to minimize the function for each of the problems below. Determine the minimum. Then, generalize the result - what are the conditions for a local minimum, global minimum?

Determinación de la convexidad de una función f(x) es H(x) es xTH(x)x Valores propios Strictly convex positive definite >0 Convex positive semi definite >=0 Strictly concave negative definite <0 Concave negative semi definite <=0 H(x) es el Hessiano (segunda derivada de la matriz)

4 -3 f(x)=2x12-3x1x2+2x22 2 1 f(x)=x12+x1x2+2x2+4 f(x)=2x1-3x2+6 ¿Son convexas las siguientes funciones? 4 -3 l1=1,l2=7 convexa f(x)=2x12-3x1x2+2x22 2 1 l1=1+2,l2=1-2 f(x)=x12+x1x2+2x2+4 ?? f(x)=2x1-3x2+6 l1=0,l2=0 convexa y cóncava Las siguientes restricciones: ¿forman una región convexa? -x12+x2>=1 x1-x2>=-2 CONVEXA -2 convexa g1(x)=-x12+x2-1>=0 g2(x)=x1-x2+2>=0 convexa y cóncava