CURSO 2009/2010 ¿Qué es y para qué sirve el Ajuste de Observaciones?¿Por que es necesario buscar métodos alternativos? Ana Mª Domingo Preciado Profesora Titular de Ajuste de Observaciones Despacho 422(ana.domingo.preciado@upm.es) E.T.S.I. EN TOPOGRAFÍA, GEODESIA Y CARTOGRAFÍA

¿Para qué necesitamos el Ajuste?

En Topografía y Geodesia medimos: -distancias -direcciones para determinar unos Parámetros que en general: (X,Y) (X,Y,Z) OBSERVACIONES PARÁMETROS ? Ecuaciones Matemáticas Primer Problema: Las medidas NO SON PERFECTAS

¿Por qué hay Errores? Tres posibles causas: 1)Variaciones estadísticas de las observaciones(ERRORES ALEATORIOS) 2)Posibles Sistematismos ocurridos durante la observación 3)Errores Graves o Equivocaciones Lo podemos comprobar en cualquier poligonal topográfica: 1 2 1 A NO CIERRAN A CERO!!!!!! B C

Los Los Métodos de Ajuste CAMBIAN(corrigen?,modifican?) las observaciones iniciales de forma que sean consistentes entre si y con las ECUACIONES DEL MODELO -El ajuste por MÍNIMOS CUADRADOS(MMCC) está diseñado de tal forma que los cambios de las observaciones sean los MÍNIMOS( de hecho haremos mínima la SUMA DE LAS CORRECCIONES AL CUADRADO!!!) -Cualquier proceso de cálculo topográfico requiere un NÚMERO MÍNIMO DE OBSERVACIONES para ser resuelto. Los

Por ejemplo, en la siguiente Intersección: B Si observamos el mínimo de direcciones(2) , obtenemos una solución para P, pero si hacemos una observación más tendremos 3 posibles soluciones para P !!!!!!!! P(X,Y)?? C

Si hacemos sólo el mínimo de observaciones y cometemos un error en alguna de ellas, el resultado final no será correcto y además EL CÁLCULO NO NOS AVISA DE ELLO!!!! Si hacemos más del mínimo, estaremos en situación de REDUNDANCIA, pero a cambio tendremos más de una solución para el problema. ¿¿¿Con cual nos quedamos??? Por si esto fuera poco, además es necesario conocer la CALIDAD (PRECISIÓN + EXACTITUD) de los resultados Y además queremos que el AJUSTE sea una técnica: SENCILLA DE APLICAR Y DE CARÁCTER GENERAL

¿Cuáles son los pasos en cualquier AJUSTE POR MMCC? DISEÑO DE REDES OBSERVACIONES + PRECISIONES PRE – PROCESADO DE LOS DATOS SOLUCIÓN MMCC ANÁLISIS ESTADÍSTICO A POSTERIORI OJO!!!: NO es un proceso en el que cada paso se haga UNA SÓLA VEZ

¿Qué necesitamos para realizar un proceso de AJUSTE? Observaciones (excepto para el diseño de redes, que es una SIMULACIÓN) Información sobre la calidad de las medidas: Desviaciones estándar Pesos Correlaciones Las ecuaciones matemáticas que relacionan las observaciones entre si o las observaciones con los parámetros Una herramienta de ayuda para el CÁLCULO MMCC

¿Y después del Ajuste?: -Hay que realizar un Análisis Estadístico para comprobar que el ajuste es OK( lógicamente en el nivel de precisión requerido para los resultados) -Si esto no ocurre, puede haber varias causas: 1)Las ecuaciones/modelo son erróneos o pobres(no representan correctamente la realidad del problema) 2)1 o más observaciones son erróneas 3) Los datos se han introducido incorrectamente en las ecuaciones del modelo 4)Falta de consistencia en el manejo de las unidades de trabajo 5) Errores en el Modelo Estocástico(por ejemplo los PESOS de las observaciones mal calculados

¿Existen alternativas a los Mínimos Cuadrados? En cualquier proceso de ajuste las variaciones calculadas de las observaciones iniciales deben ser las mínimas(como ocurre en los MMCC) Otros tipos de ajuste se diseñan de las siguientes formas: 1)Minimizando v, donde v sería la corrección de cada observación 2)Minimizando |v| . Este sistema se denomina Método Robusto L1 3)Minimizando diferentes funciones de v(aplicados en Fotogrametría Analítica y Digital)

Solución MMCC Solución Bowditch Veamos el ejemplo de una poligonal real calculada mediante 2 métodos de ajuste distintos: Solución MMCC Solución Bowditch Radio= 5mm Escala error

Un ejemplo muy gráfico de lo que representa geométricamente el AJUSTE MMCC: Observaciones de una distancia : 100.010,100.035,100.020,100.026,100.031,100.022, 100.018,100.014 metros Vamos a representar gráficamente el resultado de calcular v2 calculando cada v como v = longitud estimada – longitud observada Utilizando diferentes estimaciones posibles de la distancia. ¿Cuál de ellas hará mínima esta curva?

v2 MÍNIMO ESTIMACIÓN MMCC .0015 .0010 .0005 100.010 100.020 100.030 100.010 100.020 100.030 DISTANCIA ESTIMADA

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA: Domingo A. : Apuntes de Ajuste de Observaciones E. M. Mikhail, F. Ackermann:"Observations and least squares". B.R. Harvey : Practical Least Squares and Statistics for surveyors Rousseeuw P.J. : Robust Regression and Outlier Detection Kraus K. : Photogrammetry

AJUSTE DE OBSERVACIONES El AJUSTE DE OBSERVACIONES SE INTERRELACIONA CON OTRAS MATERIAS DE LA SIGUIENTE FORMA: TOPOGRAFÍA GEODESIA FOTOGRAMETRÍA (la “caja de herramientas” del topógrafo) AJUSTE DE OBSERVACIONES ÁLGEBRA MATRICIAL ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

EVALUACIÓN SE REALIZARÁ COMO TRABAJO FIN DE CURSO UN PROGRAMA INFORMÁTICO QUE RESUELVA UN DETERMINADO PROBLEMA DE AJUSTE(TOPOGRAFÍA, GEODESIA, FOTOGRAMETRÍA) EL CUAL DEBE TENER DOS PARTES: A)RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA MEDIANTE LA TÉCNICA CLÁSICA DE MMCC B)RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA UTILIZANDO ALGÚN TIPO DE ESTIMADOR ROBUSTO , COMPARANDO LOS RESULTADOS EN EL CASO ANTERIOR , EN SITUACIONES SIMULADAS DE EXISTENCIA DE ERRORES GRAVES

DESCRIPCIÓN PORMENORIZADA DE LA ASIGNATURA Primera Parte .- Las Técnicas de Estimación Robusta Los errores de tipo I Distribuciones de probabilidad Métodos existentes de eliminación Fundamento matemático de los métodos robustos Métricas y estimadores Punto de análisis y función de influencia Clasificación de los métodos de estimación robusta Estimadores de tipo M Estimadores de tipo L Estimadores de tipo MM Estimación robusta y detección de errores

Segunda Parte.- La aplicación de los métodos robustos en procesos fotogramétricos Estimación robusta en Fotogrametría Detección de observaciones aisladas Problemas planteados por el método clásico Posibles aplicaciones El estimador bicuadrado Detección automática de los errores de tipo I Modificación al Método Danés El programa PAT-M43 de ajuste de bloques Tercera Parte .- Adaptación de diversos estimadores robustos a tres problemas fotogramétricos fundamentales.Estudio de resultados FASE DE TRABAJO INDIVIDUAL : Cada alumno elegirá un determinado problema de ajuste y estudiará la posible aplicación de métodos de estimación robusta(topografía, fotogrametría, geodesia, etc)