Problemas de Valores en la Frontera en Coordenadas Rectangulares CAPÍTULO 13

Contenidos 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera 13.3 Ecuación de Calor 13.4 Ecuación de Onda 13.5 Ecuación de Laplace 13.6 Problemas de Valores en la Frontera no homogéneos 13.7 Desarrollos en Series Ortogonales 13.8 Series de Fourier con Dos Variables

13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables Ecuación Diferencial Lineal Parcial Se se establece que u denota la variable dependiente y x, y son variables independientes, la forma general de una ecuación diferencial lineal parcial de segundo orden se expresa emdiante (1) Cuando G(x, y) = 0, (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.

Separación de Variables Si suponemos que u = X(x)Y(y), entonces

Ejemplo 1 Determine las soluciones producto de Solución Sea u = X(x)Y(y) y entonces Introducimos una constante de separación real como −.

Ejemplo 1 (2) Así que Para los tres casos:  = 0: X” = 0, Y’ = 0 (3)  = −2 > 0,  > 0 X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0 (4)  = 2 > 0,  > 0 X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0 (5)

Ejemplo 1 (3) Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) son X = c1 + c2x y Y = c3. Así (6) cuando A1 = c1c3 , B1 = c2c3. Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) son X = c4 cosh 2x + c5 sinh 2x y ASí (7) donde A2 = c4c6, B2 = c5c6.

Ejemplo 1 (4) Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) son X = c7 cos 2x + c8 sin 2x e Así (8) donde A3 = c7c9, B3 = c8c9.

Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial TEOREMA 13.1 Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial parcial, entonces al combinación lineal u = c1u1 + c2u2 + … + ckuk donde las ci = 1, 2, …, k son constantes, también es una solución. Principio de Superposición

Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de segundo orden DEFINICIÓN 13.1 Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de segundo orden donde A, B, C, D, E, y F son constantes reales, es hiperbólica si parabólica si elíptica si Clasificación de Ecuaciones

Ejemplo 2 Clasifique la siguiente ecuación: Solución (a)

Ejemplo 2 (2)

13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera Introducción Ecuaciones clásicas: (1) (2) (3) Se conocen como la ecuación unidimensional del calor, ecuación de onda unidimensional, y forma bidimensional de la ecuación de Laplace, respectivamente.

Observación: La ecuación de Laplace se abrevia como 2u = 0, donde se llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres dimensiones el Laplaciano de u es

Problemas de Valores en la Frontera Resolver: Sujeta a : (BC) (11) (IC)

y Resolver: Sujeta a: (BC) (12)

13.3 Heat Equation Introducción La ecuación de calor puede desribirse así: (1) (2) (3)

Solución de los PVF Usando u(x, t) = X(x)T(t), y − como la constante de separación: (4) (5) (6)

Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en u(0, t) = X(0)T(t) = 0 y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Luego obtenemos X(0) = X(L) = 0 y (7) De las discusiones antriores obtenemos

Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo X(x) = 0. Aplicando la primera condición a(10) se obtiene c1 = 0. Por tanto X(x) = c2 sin x. La condición X(L) = 0 implica que (11) Tenemos que sin L = 0 para c2  0 y  = n/L, n = 1, 2, 3, … Los valores n = n2 = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … y las soluciones correspondientes (12)

son los valores propios y funciones propias, respectivamente son los valores propios y funciones propias, respectivamente. La solución general de (6) es y por tanto (13) donde An = c2c3.

Ahora usando las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), 0 < x < L, tenemos (14) Por el principio de superposición la función (15) debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces

Se conoce como un desarrollo de semiintervalo para f en a en una serie seno. Si ponemos An = bn, n = 1, 2, 3, … entonces: (16) Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie infinita (17)

Por ejemplo, u(x, 0) = 100, L = , y k = 1, entonces

13.4 Ecuación de Onda Introducción Considere la ecuación de onda (1) (2) (3)

Solución del PVF Con la suposición u(x, t) = X(x)T(t), de (1) se obtiene de modo que (4) (5)

Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene (6) Sólo  = 2 > 0,  > 0 lleva a una solución no trivial. Por tanto la solución general de (4) es X(0) = 0 y X(L) = 0 implican que c1= 0 y c2 sin L = 0. Por tanto se tiene que  = n/L, n = 1, 2, 3, …

Los valores propios y las funciones propias son:

Sean An = c2c3, Bn = c2c4, soluciones que satisfacen (1) y (2) son

Al sustituir t = 0 en (8) y usando u(x, 0) = f(x) se obtiene Puesto que esta última expresión es un desarrollo en semiintervalo para f en una serie de senos, podemos identificar An = bn: (9)

Para determinar Bn se deriva (8) con respecto a t y fijando t = 0: Así se obtiene (10)

Ondas Estacionarias Es fácil transformar (8) en

Cuando n = 1, u1(x, t) se llama primer onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. La frecuencia f1 = a/2L del primer modo normal se llama la frecuencia fundamental o primera armónica. Observe Fig 13.9.

Fig 13.9

13.5 Ecuación de Laplace Introducción Considere el siguiente problema de valores en la frontera (1) (2) (3)

Solución del PVF Con u(x, y) = X(x)Y(y), (1) se transforma en Las tres condiciones homogéneas de frontera en (2) y (3) se traducen en X’(0) = 0, X’(a) = 0, Y(0) = 0.

Por tanto disponemos de siguientes ecuaciones Por tanto disponemos de siguientes ecuaciones (6) Para  = 0, (6) se transforma en X” = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0 La solución es X = c1 + c2x. X’(0) = 0 implica que c2 = 0 y X = c1 también satisface la condición X’(a) = 0. Así X = c1, c1  0 es una solución no trivial. Para  = −2 < 0,  > 0, (6) no posee ninguna solución no trivial.

Para  = 2 > 0,  > 0, (6) se transforma en Para  = 2 > 0,  > 0, (6) se transforma en X” + 2X = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0 Aplicando X’(0) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x, se tiene que c2 = 0 y por tanto X = c1 cos x . De la condición X’(a) = 0 se obtiene −c1  sin a = 0, y tiene que ser  = n/a, n = 1, 2, 3, …. Los valores propios de (6) son n = (n/a)2, n = 1, 2, … Relacionando 0 con n = 0, las funciones propias de (6) son Para Y” – Y = 0, cuando 0 = 0, la solución es Y = c3 + c4y. Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4y.

Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución es Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución es Y = c3 cosh (ny/a) + c4 sinh (ny/a) Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4 sinh (ny/a). Las soluciones un = XY son

El principio de superposición conduce a que (7) Sustituimos y = b, entonces es le desarrollo de semiintervalo de f en una serie de cosenos.

Si se hacen las identificaciones A0b = a0/2 y An sin (nb/a)= an, n = 1, 2, …., se tiene

Problema de Dirichlet Demostrar que la solución del siguiente Problema de Dirichlet

es

Superposition Principle Queremos dividir el siguiente problema (11) en dos problemas, cada uno de los cuales tenga condiciones homogéneas de frontera en fronteras paralelas, como se muestra en las siguientes tablas.

Problema 1:

Problema 2:

Suponemos que u1 y u2 son soluciones del problema 1 y problema 2, respectivamente. Si definimos u = u1 + u2, entonces etcétera. Fig 13.15.

Fig 13.15

Se deja como ejercicio determinar que la solución del problema 1 es

La solución del problema 2 es

13.6 PVF no homogéneos Introducción Un típico PVF no homogéneo para la ecuación de calor es (1) Cuando se genera calor a una rapidez r en una varilla, la ecuación de calor de (1) toma la forma (2) está demostrado que la ecuación (2) no es separable.

Cambio de Variables Dependientes u = v + ,  es una función a determinar.

EDP y CF Independientes del Tiempo EDP y CF Independientes del tiempo Primero considere la fuente de calor F y que las condiciones en la frontera son independientes del tiempo: (3) PDE -> EDP ecuaciones diferenciales parciales ?????? BC -> CF condiciones en la frontera ??????

En (3), u0 y u1 son constantes En (3), u0 y u1 son constantes. Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x), (3) puede reducirse a ods problemas:

Ejemplo 1 Resolver (2) sujeta a Solución Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x), entonces (4) puesto que t = 0.

Ejemplo 1 (2) Sustituyendo (4) en (3) se tiene (5) La ecuación (5) se reduce a una EDP homogénea si se exige que  sea una función que satisfaga la EDO Así se tiene (6)

Ejemplo 1 (3) Además, Se tiene que v(0, t) = 0 y v(1, t) = 0, si elegimos (0) = 0 y (1) = u0 Aplicando estas condiciones a (6) se tiene c2 = 0, c1 = r/2k + u0.

Ejemplo 1 (4) En consecuencia Por último, la condición inicial u(x,0) = v(x, 0) + (x) implica que v(x,0) = u(x, 0) − (x) = f(x) – (x). Tenemos el nuevo PVF homogéneo:

Ejemplo 1 (5) De manera usual se encuentra

Ejemplo 1 (6) Una solución del problema original es (8) Observe que

EDP y BF Dependientes del Tiempo En esta situación, una nueva forma de solución es u(x, t) = v(x, t) + (x, t) Puesto que (9) (1) se transforma (10)

Las CF en v en (10) pasan a ser homogéneas si exigimos que Las CF en v en (10) pasan a ser homogéneas si exigimos que (11) Ahora construimos una función  que satisfaga ambas condiciones en (11). Una función de esta forma es (12) Observe que xx = 0. Si sustituimos (13) el problema en (1) se transforma en

(14) donde G(x, t) = F(x, t) – t.

Antes de resolver (14), señalamos la estrategia básica: Antes de resolver (14), señalamos la estrategia básica: Suponemos que se pueden hallar coeficientes dependientes del tiempo vn(t) y Gn(t) tales que v(x, t) y G(x, t) en (14) pueden desarrollarse en serie (15) donde sin(nx/L), n = 1, 2, … son las funciones propias de X”+ X = 0, X(0) = 0, X(L) = 0 correspondientes a los valores propios n = n2 = n22/L2

Ejemplo 2 Resolver Solución Hacemos corresponder este problema con (1) para obtener k = 1, L = 1, F(x, t) = 0, u0(t) = cos t, u1(t) = 0, f(x) = 0. De (12) obtenemos y entonces como se indica en (13), sustituimos (16)

Ejemplo 2 (2) Para obtener el PVF para v(x, t): (17) Los valores propios y las funciones propias del problema de Sturm-Liouville X +X = 0, X(0) = 0, X(1) = 0 son n = n2 = n22 y sin nx, n = 1, 2, ….

Ejemplo 2 (3) Con G(x, t) = (1 – x) sin t, suponemos a partir de (15) y para t fijo, v y G pueden escribirse como series de seno d eFourier: (18) y (19)

Ejemplo 2 (4) Tratando t como un parámetro, Por lo tanto (20)

Ejemplo 2 (5) De (18), tenemos (21) La EDP se transforma en

Ejemplo 2 (6) Para cada n, la solución general de la EDO es: donde Cn denota la constante arbitraria. De ahí (22)

Ejemplo 2 (7) Cn puede determinarse la condición inicial v(x, 0) a (22). De l serie de Fourier

Ejemplo 2 (8) Por tanto

13.7 Desarrollos en Series Ortogonales Ejemplo 1 La temperatura de una varilla de unidad unitaria se determina de Determine u(x, t).

Ejemplo 1 (2) Solución Si suponemos que u(x, t) = X(x)T(t) y usamos −  como la constante de separación, tenemos (1) (2) (3)

Ejemplo 1 (3) (1) y (3) constituyen un problema regular de Sturm-Liouville (4) Como en Ejemplo 2 de Sec 12.5, (4) posee soluciones no triviales sólo para  = 2 > 0,  > 0. La solución general es X = c1 cos x + c2 sin x. X(0) = 0 implica c1 = 0. Aplicando la segunda condición en (4) a X = c2 sin x, se tiene (5)

Ejemplo 1 (4) Por el hecho de que la gráfica de y = tanx e y = −x/h, h > 0, tengan un número infinito de intersecciones para x > 0, (5) tiene un número infinito de raíces. Si las raíces positivas consecutivas se denotan n, n = 1, 2, …, entonces los valores propios son n = n2 y las funciones propias correspondientes son X(x) = c2 sin nx, n = 1, 2, …. La solución de (2) es

Ejemplo 1 (5) Ahora en t = 0, u(x, 0) = 1, 0 < x < 1, de forma que (6) (6) es un desarrollo de u(x, 0) = 1 en términos de las funciones ortogonales que surgen del problema regular de Sturm-Liouville (4). El conjunto {sin nx} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1. De (8) de Sec 12.1, tenemos (7)

Ejemplo 1 (6) Determinamos que (8)

Ejemplo 1 (7) De ahí (7) se transforma en

Ejemplo 2 Observe Fig 13.19. La EDP se describe mediante

Fig 13.19

Ejemplo 2 (2) Solución De manera similar, tenemos (9) (10) (11) (9) junto con la condición homogénea en la frontera en (11), (12) es un problema regular de Sturm-Liouville.

Ejemplo 2 (3) Para  = 0 y  = −2,  > 0, la única solución es X = 0. Para  = 2,  > 0, aplicando X(0) = 0 y X(1) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x se tiene c1 = 0, c2 cos  = 0. Por tanto n = (2n – 1)/2 y los valores propios son n = n2 = (2n – 1)22/4, y las funciones propias correspondientes son

Ejemplo 2 (4) La condición inicial t(x, 0) = 0 implica X(x)T(0) = 0 ó T(0) = 0. Aplicada a T(t) = c3 cos ant + c4 sin ant de (10) implica c4 = 0, T(t) = c3 cos ant = c3 cos a((2n – 1)/2)t. Por tanto

Ejemplo 2 (5) Cuando t = 0, se tiene que tener, para 0 < x < 1, (14) Como en Ejemplo 1, el conjunto {sin((2n – 1)/2)x} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [0, 1]. Tenemos

Ejemplo 2 (6) Por último

13.8 Series de Fourier con Dos Variables Ecuación de Onda y de Transmisión de Calor en Dos Dimensiones Ecuación de calor en dos dimensiones: (1) Ecuación de onda en dos dimensiones: (2)

Fig 13.21

Ejemplo 1 Determine la temperatura u(x, y, t) en la placa si la temperatura inicial es f(x, y) y los límites se matienen a temperatura cero durante el tiempo t > 0. Solución tenemos que resolver

Ejemplo 1 (2) Si ponemosu = XYT, obtenemos (3) De manera similar, podemos obtener de modo que (4) (5)

Ejemplo 1 (3) Por la misma razón, introducimos otra constante de separación − en (5), entonces Ahora las condiciones homogéneas

Ejemplo 1 (4) De esta manera obtenemos dos problemas, uno en x (7) y otro en y (8) De forma similar tenemos dos conjuntos independientes de valores propios y funciones propias definidos por sin b = 0 y sin c = 0. Esto es (9)

Ejemplo 1 (5) (10) Después de sustituir los valores de (9) en (6), su solución general es:

Ejemplo 1 (6) Usando el principio de superposición en la forma de una suma doble (11) En t = 0, tenemos (12) y (13)

La ecuación (11) se llama serie de senos con dos variables La ecuación (11) se llama serie de senos con dos variables. La serie de cosenos con dos variables es dada por