Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Este material proporciona la motivación geométrica del Método Simplex. En un ejemplo concreto se plantea una iteración del algoritmo Simplex (elección de la variable que entra en la base y la que sale) y se muestra visualmente su interpretación gráfica de la siguiente forma: partiendo de una solución inicial (esto es, un punto extremo de la región factible) se consideran los posibles movimientos a través de las aristas de la región factible, seleccionando en primer lugar cuales de ellos conducen a una mejora de la función objetivo y, posteriormente, seleccionando la que produce la mayor mejora. A continuación mostrando dicho movimiento desde el punto extremo de partida se deducen sus consecuencias: cambio de las variables básicas (y, por tanto, obtención de una nueva solución que, en este caso, mejora a la anterior) por el abandono de uno de los hiperplanos que confluyen en el punto extremo de partida y por el bloqueo de un hiperplano que evita el escape de la región factible. La variable definitoria del hiperplano abandonado será la variable que entra en la base y la variable de bloqueo la que sale. De esta forma, el alumno adquiere, de forma intuitiva, el mecanismo de funcionamiento del método Simplex. AVISO: Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 2 Región Factible 1 (0,0) 1 2 3 4 5 6

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (0,0) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX 2 1 Solución V. básicas Variables no básicas 1 2 1 6 Variables básicas 1 -1 1 4 1 1 2 zj-cj -2 -1 Z=0 ITERACIÓN DEL SIMPLEX  zj-cj<0 Sale de la base s2 Entra en la base x1 2 1 V. básicas Solución 3 1 2 Variables no básicas 2 1 -1 1 4 Variables básicas 1 1 2 zj-cj -3 2 Z=8

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (0,0) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Solución inicial  Punto extremo de partida 2 1 Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo V. básicas Variables no básicas 1 2 1 6 Variables básicas Posibles direcciones de movimiento 1 -1 1 4 1 1 2 Direcciones de mejora zj-cj -2 -1 Z=0 ITERACIÓN DEL SIMPLEX Una dirección d produce una mejora en la función objetivo si forma con su gradiente un ángulo agudo,  zj-cj<0 Sale de la base s2 es decir si o, equivalentemente, Entra en la base x1 2 1 d1=(1,0) V. básicas Solución 3 1 2 Variables no básicas d2=(0,1) 2 1 -1 1 4 Variables básicas 1 1 2 zj-cj -3 2 Z=8

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (0,0) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Solución inicial  Punto extremo de partida 2 1 Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo V. básicas Variables no básicas 1 2 1 6 Variables básicas Posibles direcciones de movimiento 1 -1 1 4 d1=(1,0), 1 1 2 Direcciones de mejora zj-cj -2 -1 Z=0 ITERACIÓN DEL SIMPLEX d2=(0,1),  zj-cj<0 Sale de la base s2 Dirección óptima de mejora Entra en la base x1 2 1 La dirección d que produce la mayor mejora es aquella para la cual es mayor. V. básicas Solución 3 1 2 Variables no básicas 2 1 -1 1 4 Variables básicas 1 1 2 zj-cj -3 2 Z=8

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (4,0) (0,0) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Solución inicial  Punto extremo de partida 2 1 Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo V. básicas Variables no básicas 1 2 1 6 Variables básicas Posibles direcciones de movimiento 1 -1 1 4 d1=(1,0), 1 1 2 Direcciones de mejora zj-cj -2 -1 Z=0 ITERACIÓN DEL SIMPLEX d2=(0,1),  zj-cj<0 Sale de la base s2 Dirección óptima de mejora Entra en la base x1 2 1 x 1 >0 Nueva solución  Punto extremo adyacente V. básicas Abandono del hiperplano x1=0 Solución Entra en la base x1 3 1 2 Variables no básicas s 2 = 0 2 1 -1 1 4 Variables básicas Bloqueo del hiperplano s2=0 1 1 2 Deja la base s2 zj-cj -3 2 Z=8

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (14/3,2/3) (4,0) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Nueva solución  Punto extremo asociado 2 1 Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo V. básicas Variables no básicas 3 1 2 Posibles direcciones de movimiento 2 1 -1 Variables básicas 1 4 1 1 2 Direcciones de mejora d1=(1,1), zj-cj -3 2 Z=8 ITERACIÓN DEL SIMPLEX Una dirección d produce una mejora en la función objetivo si forma con su gradiente un ángulo agudo,  zj-cj<0 Sale de la base s1 Dirección óptima de mejora es decir si o, equivalentemente, Entra en la base x2 2 1 x 2>0 Nueva solución  Punto extremo adyacente V. básicas Abandono del hiperplano x2=0 d1=(1,1) Solución Entra en la base x2 1 1 1/3 -1/3 2/3 Variables no básicas d2=(-1,0) s 1 = 0 2 1 1/3 2/3 14/3 Variables básicas Bloqueo del hiperplano s1=0 -1/3 1 1 Deja la base s1 zj-cj 1 1 Z=10

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (14/3,2/3) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Nueva solución  Punto extremo asociado 2 1 V. básicas Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo 1 1 1/3 -1/3 2/3 Variables no básicas 2 1 1/3 2/3 14/3 Variables básicas Posibles direcciones de movimiento -1/3 1 1 zj-cj Direcciones de mejora 1 1 Z=10 Una dirección d produce una mejora en la función objetivo si forma con su gradiente un ángulo agudo, zj-cj0,  j Solución óptima es decir si o, equivalentemente, d1=(-1,-1) d2=(-2,1) No existen direcciones de mejora

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (14/3,2/3) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Nueva solución  Punto extremo asociado 2 1 V. básicas Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo 1 1 1/3 -1/3 2/3 Variables no básicas 2 1 1/3 2/3 14/3 Variables básicas Posibles direcciones de movimiento -1/3 1 1 zj-cj Direcciones de mejora No existen 1 1 Z=10 zj-cj0,  j Solución óptima Se ha encontrado la solución óptima Solución óptima

Interpretación geométrica del método Simplex AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Interpretación geométrica del método Simplex Máx Z=2x1+x2 s. a. x1+2x2 ≤ 6 x1  x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Máx Z=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 s. a. x1 +2x2+ s1 = 6 x1  x2 + s2 = 4 x2 + s3 = 2 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0 3 (s1=0) (s2=0) 2 (s3=0) Región Factible 1 (14/3,2/3) 1 2 3 4 5 6 ALGORITMO SIMPLEX Nueva solución  Punto extremo asociado 2 1 V. básicas Solución Búsqueda del punto extremo adyacente que proporcione la mayor mejora en la función objetivo 1 1 1/3 -1/3 2/3 Variables no básicas 2 1 1/3 2/3 14/3 Variables básicas Posibles direcciones de movimiento -1/3 1 1 zj-cj Direcciones de mejora No existen 1 1 Z=10 zj-cj0,  j Solución óptima Se ha encontrado la solución óptima Solución óptima