Apuntes 1º Bachillerato CT TEMA 7 Números complejos @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

OPERACIONES BINÓMICAS TEMA 7.2 * 1º BCT OPERACIONES BINÓMICAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

Apuntes 1º Bachillerato CT SUMAS Y RESTAS SUMA El resultado de la suma de dos o más nºs complejos es otro nº complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales, y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. Sean los nºs complejos: z1 = a+bi , z2 = c+di z1+z2 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i Ejemplo: (3 – 2i)+(2 + 3i) = (3+2)+(– 2+3)i = 5 + i Ejemplo: (4 – 5i)+(– 3 + 5i) = (4+(– 3))+(– 5+5)i = 1 + 0i = 1 RESTA Idem de la suma, con la salvedad de que ahora no existe la propiedad commutativa; o sea que no es lo mismo z1 – z2 que z2 – z1. Ejemplo: (3 – 2i) – (2 + 3i) = (3 – 2)+(– 2 – 3)i = 1 – 5i Ejemplo: (2 + 3i) – (3 – 2i) = (2 – 3)+(3 – ( – 2))i = – 1 + 5i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT PRODUCTOS PRODUCTO La unidad de los números imaginarios se ha dicho ya que es i =√-1 Según eso observar la siguiente tabla con atención: i = i i2 = i.i = √-1 √-1 = - 1 i3 = i.i.i = √-1 √-1 i = - 1.i = - i i4 = i.i.i.i = √-1 √-1 √-1 √-1 = (- 1).(- 1) = 1 Pues bien: z1.z2 = (a+bi).(c+di) = a.c+a.d.i+b.i.c+b.i.d.i = = a.c + b.d.(i.i)+(a.d+bc)i = ( a.c - b.d )+(a.d+bc)i Ejemplos: (3+4i).(2+5i) = 3.2+3.5i+4i.2+4i.5i = 6 + 15i + 8i +20i2 = – 14 + 23i (–2+3i).(1+i) = – 2.1+(–2)i+3i.1+3i.i = – 2 – 2i + 3i + 3i2 = – 5 + i (–2i).(–1 – i ) = (–2i).(–1) + (–2i).(– i) = 2i + 2i2 = 2i – 1 = –1 + 2i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT DIVISIÓN Cociente de números complejos: se racionaliza el denominador. Para ello se multiplica numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador. Con lo cual se consigue eliminar la parte imaginaria del denominador Ejemplo 3 – 2i (3 – 2i).(4 – 3i) 12 – 9i – 8i + 6i2 6 – 17i 6 17 ---------- = --------------------- = ------------------------- = ------------ = ---- – ---- i 4 + 3i (4 + 3i).(4 – 3i) 16 – 9i2 16 + 9 25 25 – 2i (– 2i).(1 + i) – 2i – 2i2 2 – 2i 2 2 ---------- = ------------------ = ------------- = ------------ = ---- – ---- i = 1 – i 1 – i (1 – i) .(1 + i) 1 – i2 1+1 2 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5

Apuntes 1º Bachillerato CT INVERSO El inverso de z es el número: _ _ 1 z z z -1 = ---- = -------- = ------- z _ |z|2 z. z Ejemplos 1 (3 + 4i) 3 + 4i 3 + 4i 3 + 4i (3 – 4i) -1 = ---------- = --------------------- = ----------- = --------- = ---------- 3 – 4i (3 – 4i) (3 + 4i) 9 + 16 25 52 1 (– 1 + i) – 1 + i – 1 + i – 1 + i (– 1 – i) -1 = ---------- = ------------------------ = ----------- = --------- = ---------- – 1 – i (– 1 – i) (– 1 + i) 1 – i2 2 (√2)2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS Primera propiedad El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z. si z = a + bi se tiene que Conj z = a - bi , de donde, Conj (Conj z ) = a + bi = z Segunda propiedad Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Tomando : z = a + bi y z' = c + di Se obtiene: z + z’ = (a+c)+(b+d)i  Conj (z+z’) = (a+c) – (b+d)i (a – bi)+(c – di) = (a+c) – (b+d)i Tercera propiedad El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números: Si z = a + bi y z = c + di Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i . Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que: a + bi = a - bi Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real. Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales. (a + bi ) + (a - bi ) = 2a (a + bi ) (a - bi ) = 2a - 2(bi) = 2a + 2b Ejemplos (3 + 7i ) + (3 - 7i ) = (3+3)+(7 – 7)i = 6 + 0i = 6 (2 + 3i ) (2 - 3i ) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13 (– 1 + i) (– 1 – i) = 1 + i – i – i2 = 1 – (– 1) = 1 + 1 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POTENCIAS DE COMPLEJOS BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... ... + C . b m m m m Las potencias de números complejos se hacen desarrollando la potencia del binomio (Newton) y teniendo en cuenta las potencias de i. m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 2 m m m (a+bi) = C .a + C .a . b.i + C . a . b .i + ...... + C . b . i m m m m @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

Ejercicios de POTENCIAS 1.- (2 – 3i)3 = C3,0 .23 – C3,1 .22 .3i + C3,2 .2 . (3i)2 – C3,3 .(3i)3 = = 8 – 3.4.3i + 3.2.9i2 – 27.i3 = 8 – 36i – 54 + 27i = – 46 – 9i 2.- (1 + 2i)4 = C4,0 + C4,1 . 2i + C4,2 . (2i)2 + C4,3 .(2i)3 + C4,4 .(2i)4 = = 1 + 4.2i + 6.4i2 + 4.8i3 + 16i4 =1+ 8i – 24 – 32i + 16 = – 7 – 24i 3.- (– 1 + i)3 = C3,0 .(-1)3 + C3,1 .(-1)2 .i + C3,2 .(-1) . i2 + C3,3 .i3 = = – 1 + 3.1.i + 3.(-1).i2 + i3 = – 1 + 3i + 3 – i = 2 + 2i 4.- (1 – i)5 = C5,0 – C5,1 . i + C5,2 . i2 – C5,3 .i3 + C5,4 .i4 – C5,5 .i5 = = 1 – 5.i + 10.i2 – 10.i3 + 5.i4 – i5 = 1 – 5i – 10 + 10i + 5 – i = – 4 – 4i 5.- (3 – 2i)7 = C7,0 37 – C7,1 . 36 .i + C7,2 . 35 i2 – C7,3 . 34 i3 + C7,4 . 33 i4 – – C7,5 . 32 i5 + C7,6 . 3. i6 – C7,7 .i7 = 2347 – 7.739.2.i + 21.243.4.i2 – – 35.81.8.i3 + 35.27.16.i4 – 21.9.32.i5 + 7.3.64.i6 – 128.i7 = = 2347 – 10346i – 20412 + 22680i + 144720 – 6048i – 1344 + 128i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

Ejercicios propuestos @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11