TEMA.- SILVIA MARTÍNEZ RAMÍREZ INECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

INTRODUCCIÓN: ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Recuerda que una ecuación lineal con dos incógnitas como 3x+ 2y–16 = 0 representa gráficamente una recta, la cual vimos que se representaba así: Despejo la letra y en 3x + 2y – 16 = 0: Construyo una tabla de valores para es decir, doy unos valores fijos a x y obtengo los valores correspondientes a y.

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Construyo una tabla de valores para es decir, doy unos valores fijos a x y obtengo los correspondientes a y: x -2 -1 1 2 x -2 -1 1 2 11 9,5 8 6,5 5 3

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones: El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 (recta). El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 (semiplano). El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0 (semiplano).

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. La recta 3x + 2y – 16 = 0 divide al plano en tres regiones: El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que 3x + 2y – 16 = 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que 3x + 2y – 16 >0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que 3x + 2y – 16 < 0

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Así pues, una inecuación lineal con dos incógnitas adopta una de estas formas: ax + by + c > 0 ó ax + by + c < 0 En vez de los signos < ó >, puede tener En cada una de ellas, el conjunto de soluciones es el semiplano que está a cada uno de los lados de la recta ax + by + c = 0. Cuando en la desigualdad está incluido el igual ( ), los puntos de la recta son también soluciones. A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Para decidir cuál es la solución de los dos semiplanos : Si la verifican, el semiplano al que pertenece P es el semiplano solución o región factible. En caso contrario (que las coordenadas de P no verifican la inecuación), la solución será el otro semiplano. Se toma un punto P(x,y) cualquiera que no pertenezca a la recta, y se sustituyen sus coordenadas en la inecuación.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Ejercicio resuelto: Resuelve x – y + 1 > 0: Se plantea la ecuación de la recta x - y + 1 = 0 y se despeja la y: y = x + 1 Se construye una tabla de valores y se representa dicha recta x -2 -1 1 2 y 3

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. x -2 -1 1 2 y 3 y = x + 1 x - y + 1 = 0

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Para decidir cuál de los dos semiplanos es la solución, se ha tomado el punto P(0, 0) que no pertenece a la recta, y se ha sustituido sus coordenadas en la inecuación x - y + 1 > 0 (0 – 0 + 1 > 0) Así, como se verifica la inecuación (1 > 0), el semiplano al que pertenece P(0, 0) es el semiplano solución o región factible. La solución es el semiplano coloreado.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Ejercicio resuelto: Resuelve x > 0. Se plantea la ecuación de la recta x = 0 y se representa. ¿Dónde x será mayor que 0?

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Ejercicio resuelto: Resuelve x > 0. Se debe elegir uno de los semiplanos: x > 0 en el semiplano de color rojizo. El eje Y no pertenece al conjunto de soluciones, pues en él x = 0.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Ejercicio resuelto: Resuelve Se plantea la ecuación de la recta y = 4 y se representa. ¿Dónde y será menor que 4? ¿Qué semiplano debemos elegir?

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Ejercicio resuelto: Resuelve . Se debe elegir uno de los semiplanos: Se cumple en el semiplano de color rojizo. La recta y = 4 sí pertenece al conjunto de soluciones

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Una inecuación lineal con dos incógnitas adopta una de estas formas: ax + by + c > 0 ó ax + by + c < 0 En vez de los signos < ó >, puede tener Varias inecuaciones lineales forman un sistema cuando se buscan soluciones comunes a todas ellas. Como el conjunto de soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano, el conjunto de soluciones, si existe, será la intersección, si existe, de varios semiplanos, es decir, un recinto poligonal o bien un recinto abierto. Si los semiplanos no tienen ningún punto en común, el sistema no tiene solución y decimos que es incompatible.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. x – y = 0 x – y  0 x = 5 x  5 x  0 y  0 La solución es un recinto poligonal.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Ejercicio resuelto: Resuelve Se representa

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Se representa Y ahora, a “juntar” los dos conjuntos de soluciones.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Para “juntar” los dos conjuntos de soluciones, en unos mismos ejes de coordenadas coloreamos de colores distintos cada solución de cada inecuación y, así, la solución del sistema será la región doblemente coloreada. La solución es un recinto abierto. ¡AHÍ ESTÁ!