INGENIERÍA ECONÓMICA

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO Relación prestamista - prestatario. Formas de pago de un préstamo. Pago único. Serie uniforme. Amortización constante.

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO Serie gradiente. Serie gradiente porcentual. Equivalencias para formas de pago.

RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO Prestamista: persona natural o jurídica que concede dinero en préstamo. Prestatario: persona que recibe dinero en préstamo. Elementos de un préstamo: Magnitud o monto. Valor de la tasa de interés. Plazo.

RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO Forma de pago. Garantía o fiador. Requisitos de capacidad de pago. Periodo de gracia: tiempo durante el cual se pueden pagar únicamente los intereses o también puede ser el tiempo durante el cual los intereses se capitalizan, pero no hay desembolso alguno por el prestatario.

RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO Amortización del préstamo original: toda cuota o pago de un préstamo la podemos descomponer en dos partes: una correspondiente a la disminución o abono que hagamos al préstamo original, la otra será el componente de interés. La amortización nunca será negativa y cuando no hay amortización se entenderá que toda la cuota corresponde a intereses.

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE UNIFORME: Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales. P A 1 2 3 4 n

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE DE PAGOS DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual. A2 An A3 P 1 2 3 n A1

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE GRADIENTE: El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética). 1 2 n A1 A2 An P 3 A3

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO SERIE GRADIENTE PORCENTUAL: El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica). A1 A2 An P 1 2 n

PAGO ÚNICO P F 1 2 n F = P(1+i)n

PAGO ÚNICO Demostración de la formula de valor futuro, donde: P: préstamo i: tasa de interés n: plazo F: pago único SK: saldo o deuda al final de cualquier período K Total intereses: I = Total pagado-Total prestado I = F-P (1)

PAGO ÚNICO

PAGO ÚNICO EJEMPLO: Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002? Valor futuro: F = P(1+i)n (3) Para tablas: F = P(F/P,i,n) (3´) Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86 Saldo: Sk = P(1+i)k (2) Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01

SERIE UNIFORME P A 1 2 3 4 n A = P * i (1+i)n (1+i)n -1

SERIE UNIFORME Demostración de las fórmulas para serie uniforme, donde: A: cuota uniforme. ak: abono o parte de la cuota que amortiza la deuda. Ik: parte de la cuota que cubre intereses. Pk: valor presente equivalente a la cuota del periodo k.

SERIE UNIFORME P será equivalente a los pagos efectuados considerando la tasa i, ello implica que P será igual a la suma de los valores presentes de las cuotas. Pk = A * (1+i)-k según formula (3) P =  Pk por principio N°2 P =  A * (1+i)-k P = A *  (1+i)-k P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*) P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)

SERIE UNIFORME i (1+i)n (4) (1+i)n -1 A = P * Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A. A = P * i (1+i)n (4) (1+i)n -1 El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n) Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)

SERIE UNIFORME Despejando P de (4) tendremos: (1+i)n - 1 (4’’) P = A * i (1+i)n P = A * (4’’) Para las tablas: P = A * (P/A,i,n) (4’’’)

SERIE UNIFORME ........ ... Saldo o deuda: P 1 2 3 4 SK n ........ ... 3 4 SK k+1 n K PAGADAS (n-k) PENDIENTES k A

SERIE UNIFORME Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes. Aplicamos la (4’’) con n = (n-k) Sk = A (1+i)n-k -1 i (1+i)n-k (5)

SERIE UNIFORME En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y que parte corresponde a intereses? ak = Sk-1 - Sk (6) Ik = i  S(k-1) (7) Ik= A- ak

Comportamiento del saldo (Sk) para la forma de pago serie uniforme En una serie uniforme el comportamiento del saldo es decreciente siendo cero en el periodo n.

SERIE UNIFORME Ejemplo: Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual? Solución: P A 1 2 3 24

SERIE UNIFORME A =1000000 0.005 (1+0.005)24 = $44.320,61 (1+0.005)24 -1 = $44.320,61 Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes. Solución: Se debe transladar el préstamo a un periodo antes con la formula de pago único y luego aplicamos la formula de A.

SERIE UNIFORME F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87 0´ 1 2 3 4 23 24 A F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87 A = 1000000 0.005 (1+0.005)23 (1+0.005)23 -1 = $ 44.100

SERIE UNIFORME Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19. Solución: S19 $1000.000 1 2 3 ....... 24 19 PAGADAS (24-19) 19 A A A A A i:0.5%

SERIE UNIFORME S19 = 44.320,61 (1+0.005)24-19 -1 0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399 En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés? Solución: a19 = S18 – S19 S18 = 44.320,61 (1+0.005)24-18 -1 0.005 (1+0.005)6 = $261.331,35

SERIE UNIFORME a19=$43.013,9 I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66 Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados? Solución: I = total de intereses pagados – total pagado I= n  A-P = $63.644,40

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME A: Ahorro A ...... F = ? 0 1 2 3 n Periodos Interés = i

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Dados A, i y n se deberá calcular F. F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme. F = P (1+i)n aplicando (3) Pero: (1+i)n - 1 i (1+i)n P = A aplicando (4’’)

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME i (1+i)n F = A * (1+i)n Entonces: i F = A * (8) Para el uso de tablas: F = A * (F/A, i, n) (8´)

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Ejemplo: Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años. ¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME 0´ 0 1 2 59 60 meses 200.000 F = ? i = 2% ef. mensual

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Solución: F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59. F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60) F59 = 200.000 (114.051539) F59 = 22’810.307,8 F = F59 (1.02)1 F = (22’810.307,8) (1.02) F = 23’266.513,96

AMORTIZACIÓN CONSTANTE P A1 Ak= i  P + 1 - (k - 1) P n n

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Demostración de la formulas para amortización constante, donde: Ak: cuota al final del periodo k. Sk: saldo después de pagar la cuota Ak. Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto: a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE A1 = i  P + (P/n) Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n) S1 = P 1 - 1 n A2 = i  S1 + (P/n) i  P 1 - + 1 n P Entonces: S2 = P - = P 1 - 2 n 2P

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ak = i  P 1 - + (k-1) n P Sk = P 1 - k Ik = i  P 1 - (10) (11) (12)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ejemplo: Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

AMORTIZACIÓN CONSTANTE (3 - 1) 1000000 10 10 A3=124.000 S3 = 1000000 1 - = 7000000 3 10 A1=0.031000000 1 - + (1- 1) 1000000 10 10 A1=130.000 Solución:

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) An P A3 AK = A1 + (K - 1)*g

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Esta forma de pago se compone por la suma de dos series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo. Demostración de la formula para serie gradiente, donde: g : aumento aritmético de la cuota. Ak seria: A1 = A1 A2 = A1 + g A3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g AK = A1 + (k - 1)  g (en funciòn de A1) (13)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes. P 1 2 3 n-1 n . . . A1 + Ag At=A1+Ag (14) A1:serie parte uniforme. Ag:serie uniforme equivalente a parte gradiente. At :serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original.

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ag se halla llevando cada uno de los aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y sumandolos, después esta sumatoria se distribuye en una serie uniforme y se obtendría: (15) Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) De (14) tenemos: A1= At - Ag Por tabla seria: A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n) (16’) (16)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Para uso de tablas: P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’) (17) Partiendo de (16) se obtiene:

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) P Sk = ? n - k Pendientes 1 2 3 4 k k-1 . . Ak k pagados Ak + 1 An Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Utilizando (17) con "A1" = Ak+1 Y remplazando en (13) tenemos: Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde "A1" = A1 + kg De lo anterior: (18)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Solución: A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5) A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031) A1 =112.519 A5 = A1 + (5 - 1)*$200 A5 =112.519+ 4*$200 A5 = 912.519

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota. Solución: P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519 S3 = 1.088,05

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE REEMPLAZA g POR -g.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) An P 1 2 n-1 n An-1 Ak = A1 (1+ ig)k-1

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Demostración de la formula para serie gradiente porcentual, donde: ig :incremento porcentual en las cuotas. A1 = A1 A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig) A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2 A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3 Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1) (19)

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos: Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k pero Pk = Ak (1+i)-k Para obtener Al se debe llevar el valor de cada cuota al presente (Pk) y después realizar la sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Expandiendo la sumatoria: P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1) + (1+iG)n-1 (1+i)-n (1*) Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1 tendremos: P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)2 (1+i)-3 +...+ (1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)n (1+i)-n-1 (2*)

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) El factor del corchete solo será válido para iig, pues el denominador no puede ser cero. (20) Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar para obtener:

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) De la fórmula (20) podemos despejar P: (20’) iig Partiendo de esta fórmula se puede hallar Sk.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) El saldo (Sk) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k). P A1 A2 Ak Ak+1 An Sk = ? Pendientes n-k cuotas 1 2 k k+1 n k Pagadas

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando en (19) tenemos: Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde "A1" = A1(1+ig)k De lo anterior: (18) iig

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Solución: A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota? Solución: ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Análisis de los tres intervalos. Intervalo I: Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual. Análisis de los tres intervalos. Intervalo I: El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P No hay amortización: ak = 0 La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik La cuota es inferior a los intereses generados en el período: Ak = Ik < i. Sk-1

El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1 Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual. Intervalo II: El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1 No hay amortización: ak = 0 La cuota es intereses: Ik = Ak La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: Ak = Ik > i  Sk-1

El saldo es decreciente pero inferior a P: P > Sk-1 > Sk Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual. Intervalo III: El saldo es decreciente pero inferior a P: P > Sk-1 > Sk Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk Los intereses contenidos en la cuota son: Ik = Ak - ak Como no se pagan intereses acumulados, entonces: Ik = i  Sk-1

Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III: Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual. Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III: Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización contenida en Ak será: ak = P - Sk Recordemos que se amortiza sólo lo que abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik

EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO