Razonamiento Cuantitativo GEMA 1000 Sección 23914 23910 Dr. Edwin Alfonso Horas de Oficina: Martes 3:30-4:30 PM http://home.coqui.net/alfonso234/Notas_de_Clase/Notas_de_Clase.htm Dr. Edwin Alfonso Sosa

Capacitantes Capaz de definir los postulados de la geometría euclidiana Diferenciar entre lo que es una recta, línea, semirrecta y segmento de línea. Reconocer los diferentes tipos de ángulos y rectángulos. Capaz de encontrar la medida de un ángulos usando los postulados para rectas paralelas cruzadas por una transversal. Capaz de encontrar la medida de los ángulos interiores y exteriores de un triangulo usando los postulados para triángulos. Identificar lo que es un radio, secante, tangente, semicírculo. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Geometría Euclidiana El compendio de Geometría mas antiguo es Los Elementos obra escrita por Euclides alrededor del año 300 a.C. La obra inicia con definiciones de conceptos básicos, como el punto, la línea y el plano; luego, expone cinco postulados y proporciona el fundamento de todo lo que sigue. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Los cinco postulados de Euclides Dos puntos determinan una y solo una línea recta. La línea recta es aquella que se extiende de manera indefinida en cualquier dirección Un circulo puede trazarse con cualquier centro y cualquier radio dados. Todos los ángulos rectos son iguales. Dados una recta k y un punto P fuera de la línea, existe una y solo una línea, m, que pasa por P y que es paralela a k. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Punto, Línea, Plano Euclides lo definió como: Punto: “lo que no se divide en partes”. Línea: “lo que tiene longitud pero carece de ancho” Plano: “Una superficie uniformemente distribuida con rectas que se cruzan sobre ella”. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Líneas, semirrectas, rectas y segmentos Nombre Figura Símbolo Línea AB o línea BA Semirrecta AB Semirrecta BA Recta AB Recta BA Segmento AB o segmento BA A B Dr. Edwin Alfonso Sosa

ángulo Unión de dos rectas que tienen un punto extremo en común, como se aprecia en la figura 5. Las rectas que forman un ángulo se llaman lados del ángulo. El punto en común de las rectas es el vértice. B A C LADO Vértice Dr. Edwin Alfonso Sosa

Los ángulos se miden por la cantidad de rotación Los astrónomos babilonios eligieron el numero 360 para representar la cantidad de rotación de una recta sobre si misma. 1 grado (1° ≡ 1 / 360) B A C LADO Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos agudos Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos rectos Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos obtusos Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos opuestos por el vértice tienen medidas iguales (6x-5)° (4x+19)° Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos alternos internos son iguales Línea Transversal Líneas Paralelas 1 2 3 4 5 6 7 8 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos alternos externos son iguales 1 2 3 4 5 6 7 8 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos correspondientes son iguales 1 2 3 4 5 6 7 8 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulos interiores en el mismo lado de la transversal suman 180° 2 3 4 5 6 7 8 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ejercicio 66 Demostración de que los ángulos alternos externos tienen la misma medida: La medida del ángulo 2 = medida del ángulo ______, ya que son ángulos opuestos por el vértice. La medida del ángulo 3 = medida del ángulo _______, ya que son ángulos alternos internos. La medida del ángulo 6 = medida del ángulo ______, ya que son ángulos opuestos por el vértice. Por los resultados de las partes (a), (b), y (c), la medida del ángulo 2 debe ser igual a la medida del ángulo ______, con lo que se demuestra que los ángulos alternos ________ tienen la misma medida. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 7 externos Dr. Edwin Alfonso Sosa

Tarea Pág. 498 67, 68, 69, 70, 77 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Curvas, polígonos y círculos Curva simple: No pasa dos veces por el mismo punto Curva cerrada: Tiene sus puntos inicial y final localizados en el mismo lugar (puntos extremos coinciden. Simple; no cerrada Simple cerrada Dr. Edwin Alfonso Sosa

Figura convexa Segmento de línea AB tiene que estar completamente dentro de la figura. A B A B Convexa No convexa Dr. Edwin Alfonso Sosa

Polígonos Los tipos de curvas mas comunes en las matemáticas están las que son simples y cerradas, y quizás las mas importantes de estas sean los polígonos. Un polígono es una curva cerrada y simple constituida solamente por segmentos de línea recta. Los segmentos se llaman lados, y los puntos donde se encuentran los extremos se conocen como vértices. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Clasificación de polígonos de acuerdo al numero de lados. Nombre 3 4 5 6 7 8 9 10 Triangulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Dr. Edwin Alfonso Sosa

Polígonos regulares Tienen lados iguales y ángulos iguales. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Triángulos Todos Agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso Ángulos Triangulo acutángulo Triangulo rectángulo Triangulo obtusángulo Dos lados iguales Todos lados iguales Lados No tiene lados iguales Triangulo escaleno Dr. Edwin Alfonso Sosa Triangulo equilátero Triangulo isósceles

Cuadriláteros El trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos El paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos El rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto (y por consiguiente cuatro ángulos rectos) El cuadrado es un rectángulo con todos sus lados de la misma longitud. El rombo es un paralelogramo con todos sus lados de la misma longitud. Dr. Edwin Alfonso Sosa

Suma de ángulos de un triangulo La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo es de 180°. x° (X+20)° (210-3x)° Dr. Edwin Alfonso Sosa

Medida de ángulo exterior La medida del ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos. 1 2 3 4 5 6 Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ejemplo La suma de los ángulos interiores A y B debe ser igual a la medida del ángulo BCD. x° (X+20)° (3x-40)° A B C D Dr. Edwin Alfonso Sosa

Círculos Se llama círculo a un conjunto de puntos en un plano, cada uno de los cuales esta a la misma distancia con respecto a un punto fijo (O, centro). P Q O R T semicírculo Radio del circulo Tangente del circulo Secante del circulo cuerda Dr. Edwin Alfonso Sosa

Ángulo inscrito en un semicírculo Para estar inscrito en un semicírculo, el vértice del ángulo tiene que estar en el circulo con los lados del ángulo dirigidos a los puntos extremos del diámetro en la base del semicírculo. 90° Dr. Edwin Alfonso Sosa

Tarea Pág. 505 Ejercicios: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37, 43,45,49,51,54 Dr. Edwin Alfonso Sosa