Modelos Ocultos de Markov Parte II Razonamiento con Incertidumbre Tarea 5 24 de febrero de 2003 Lourdes Muñoz Gómez 709911 Lourdes Muñoz Gómez 709911

Para el ejemplo de las monedas cargadas de clase, considerando la secuencia de observaciones AASS: Los parámetros del modelo: Estados: q 1 – moneda 1 q 2 – moneda 2 Probabilidades iniciales:  = {1,  2} = {0.5, 0.5} Observaciones: (A=águila, S=sol) O = {o1, o2, o3, o4} = {A, A, S, S} Lourdes Muñoz Gómez 709911

Las probabilidades de transición: A = Las probabilidades de salida: b1 (S) = 0.2 b2 (A) = 0.2 b2 (S) = 0.8 Lourdes Muñoz Gómez 709911

c) El número de operaciones para los incisos b y c. Se considera: N = 2 (estados) y T = 4 (observaciones). Por el método directo: (2T-1)NT multiplicaciones y (NT-1) sumas (2T-1)NT + (NT-1) = 2TNT-1 operaciones 2(4)(2)4-1 = 127 operaciones Por el método forward-backward: N(N+1)(T-1)+N mul. y N(N-1)(T-1) sumas. 20 multplicaciones y 6 sumas = 26 operaciones. Lourdes Muñoz Gómez 709911

d)Estimar el estado más probable. Cálculo de las betas. Inicialización: b4(1) = 1 b4(2) = 1 Inducción: b3(1) = a11 b1(O4) b4(1) + a12 b2(O4) b4(1) = (.5)(.2)(1) + (.5)(.8)(1) = 0.5 b3(2) = a21 b1(O4) b4(2) + a22 b2(O4) b4(2) Lourdes Muñoz Gómez 709911

b2(1) = a11 b1(O3) b3(1) + a12 b2(O3) b3(1) = (.5)(.2)(.5) + (.5)(.8)(.5) = 0.25 b2(2) = a21 b1(O3) b3(2) + a22 b2(O3) b3(2) b1(1) = a11 b1(O2) b2(1) + a12 b2(O2) b2(1) = (.5)(.2)(.25) + (.5)(.8)(.25) = 0.125 b1(2) = a21 b1(O2) b2(2) + a22 b2(O2) b2(2) Lourdes Muñoz Gómez 709911

d)Estimar el estado más probable. Cálculo de las gammas. Se define 1(1) =  1(1)  1(1) / P(O) = 0.8 1(2) =  1(2)  1(2) / P(O) = 0.2 2(1) =  2(1)  2(1) / P(O) = 0.8 2(2) =  2(2)  2(2) / P(O) = 0.2 3(1) =  3(1)  3(1) / P(O) = 0.2 3(2) =  3(2)  3(2) / P(O) = 0.8 4(1) =  4(1)  4(1) / P(O) = 0.2 4(2) =  4(2)  4(2) / P(O) = 0.8 Lourdes Muñoz Gómez 709911

d)Estimar el estado más probable en cada tiempo. Para T1, argmax {1(1) , 1(2) } es q1 Para T2, argmax {2(1) , 2(2) } es q1 Para T3, argmax {3(1) , 3(2) } es q2 Para T4, argmax {4(1) , 4(2) } es q2 Lourdes Muñoz Gómez 709911

e)La secuencia de estados más probable (algoritmo Viterbi) Inicialización: 1(1) = 1b1(A) = 0.4 1(1) = 0 1(2) = 2b2(A) = 0.1 1(2) = 0 Recursión: Lourdes Muñoz Gómez 709911

Recursión 2(1)=max {1(1)a11b1(A), 1(2)a21b1(A)}=0.16 2(1)=arg max {1(1)a11, 1(2)a21} = q1 2(2)=max {1(1)a12b2(A), 1(2)a22b2(A)}=0.04 2(2)=arg max {1(1)a12, 1(2)a22} = q1 3(1)=max {2(1)a11b1(S), 2(2)a21b1(S)}=0.016 3(1)=arg max {2(1)a11, 2(2)a21} = q1 3(2)=max {2(1)a12b2(S), 2(2)a22b2(S)}=0.064 3(2)=arg max {2(1)a12, 2(2)a22} = q1 Lourdes Muñoz Gómez 709911

Recursión (continuación) 4(1)=max {3(1)a11b1(S), 3(2)a21b1(S)}=0.0064 4(1)=arg max {3(1)a11, 3(2)a21} = q2 4(2)=max {3(1)a12b2(S), 3(2)a22b2(S)}=0.0256 4(2)=arg max {3(1)a12, 3(2)a22} = q2 Terminación: p* = max {4(1), 4(2)} = 0.0256 q4*= arg max {4(1), 4(2)} = q2 Lourdes Muñoz Gómez 709911

e) Secuencia más probable Path backtracking: q3* = 4 (q4*) = 4 (2) = q2 q2* = 3 (q3*) = 3 (2) = q1 q1* = 2 (q2*) = 2 (2) = q1 Por lo tanto la secuencia de estados más probable es: q1, q1, q2, q2 Es decir primero lanzar la moneda1 y luego la 2 Lourdes Muñoz Gómez 709911