INTEGRALES U.D. 8 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE FUNCIONES U.D. 8.3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ÁREAS ENTRE FUNCIONES ÁREA PLANA LIMITADA POR DOS CURVAS Sean dos funciones f(x) y g(x) que se cortan o inter-seccionan en dos puntos, (a , f(a)) y (b , f(b)). El área que delimitan ambas funciones es la diferencia de áreas de cada función con el eje OX. b b Área = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx = a a A = | Área | Ya que el área entre curvas siempre es positiva. Y f(b)=g(b) y = f(x) f(a)=g(a) y = g(x) 0 a b X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función y = x2 con la función y = x EJEMPLO_1 Hallar el área que forma la función y = x2 con la función y = x La intersección de ambas funciones son los puntos (0,0) y (1,1). El área pedida será el que forma la recta con el eje OX menos el que forma la curva con el eje OX. 1 1 Área = ∫ x dx – ∫ x2 dx = 0 0 1 = [ x2/ 2 – x3/ 3 ] = = [ 1/ 2 – 1 / 3 ] = 1/ 6 u2 Y 1 y = x y = x2 0 1 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función y = 3 – x2 con la función y = x+1 EJEMPLO_2 Hallar el área que forma la función y = 3 – x2 con la función y = x+1 La intersección de ambas funciones son los puntos (-2,-1) y (1,2). El área pedida será el que forma la curva con el eje OX menos el que forma la recta con el eje OX. -1 1 Área = ∫ (3 – x2) dx + ∫ (3 – x2) dx – -√3 -1 1 -1 -√3 – ∫ (x+1) dx – ∫ (x+1) dx + ∫ (3 – x2) dx -1 -2 -2 Y 3 y = x+1 -2 -1 0 1 X y = 3 – x2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Área = ∫ (3 – x2) dx + ∫ (3 – x2) dx – -√3 -1 1 -1 -√3 … EJEMPLO_2 -1 1 Área = ∫ (3 – x2) dx + ∫ (3 – x2) dx – -√3 -1 1 -1 -√3 – ∫ (x+1) dx – ∫ (x+1) dx + ∫ (3 – x2) dx -1 -2 -2 1 1 Área = [3.x – x3/3] – [x2 /2 + x] = -2 -2 Área = [3.1 – 13/3] – [3.(-2) – (-2) 3/3] – [12 /2 + 1] + [(-2)2 /2 + (-2)] = Área = [3 – 1/3] – [- 6 + 8/3] – [1/2 + 1] + [2 – 2] = Área = 8/3 + 10/3 – 3/2 = 6 – 3/2 = 9/2 = 4,50 unidades @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función y = 4 – x2 con la función y = ex EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = 4 – x2 con la función y = ex La intersección de ambas funciones son los puntos (-1´8,0´1) y (1´1,2´8) aproximadamente. El área pedida será el que forma la curva con el eje OX menos el que forma la otra curva con el eje OX. 1,1 1,1 Área = ∫ (4 – x2) dx – ∫ (ex) dx – -1,8 -1,8 1,1 =[(4.x – x3/3 – ex)] = -1,8 = (4.1,1 – 1,13/3 – e1,1) – (4.(-1,8) – (-1,8)3/3 – e(-1,8)) = = (4,4 – 0,44 – 3) – (– 7,2 + 1,94 – 0,16) = 6,38 u. Y 4 y = ex y = 4 – x2 -2 -1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

menos el que forma la otra curva (parábola) con el eje OX. EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = x2 – 1 con la función negativa de la circunferencia x2 + y2 = 1 La intersección de ambas funciones son los puntos (-1,0), (0,–1) y (1, 0). El área pedida será el que forma la curva y = – √(1 – x2) con el eje OX menos el que forma la otra curva (parábola) con el eje OX. Al ser simétrica: 1 1 Área = 2. [ ∫ (x2 – 1) dx – ∫ (– √(1 – x2)) dx] = 0 0 1 = 2.[(x3/3 – x)] + π. 12 /2 = = 2.(1/3 – 1) + π / 2 = = 3,1416 / 2 – 4/3 = 0,24 u. Y -2 -1 0 1 2 X y =x2 – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forman las funciones y = 2x e y = x2 EJEMPLO_5 Hallar el área que forman las funciones y = 2x e y = x2 Previo: Puntos de corte x = 2 es uno de ellos. x = – 0,5 es el otro Al ser todas las áreas positivas 2 2 Área = ∫ 2x dx – ∫ x2 dx = -0,5 -0,5 2 2 = [2x /ln2] – [x3/ 3] = -0,5 -0,5 = (5,7707 – 1,0201) – – (8/3 + 0,125/3) = = 4,7506 – 2,7083 = = 2,0423 u2 Y 4 3 2 1 y = 2x y = x2 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Calculamos el corte de ambas. Resulta el sistema: y = x3 – x y = x EJEMPLO_6 Hallar el área que encierran las funciones y = x3 – x e y = x Por el dibujo vemos que ambas funciones tienen simetría impar. Las áreas A1 y A6 con iguales, aunque con distinto signo. Las áreas A2 y A5 son iguales, aunque con distinto signo. Las áreas A3 y A4 son iguales, aunque con distinto signo. El área A1 es diferencia de dos áreas. y = x A6 y = x3 - x Previos Calculamos el corte de ambas. Resulta el sistema: y = x3 – x y = x Por igualación: x3 – x = x  x3 = 2.x x=0 es una solución. x2 = 2  x = ±√2 son las otras dos A3 A5 A4 -√2 -1 0 1 √2 A2 A1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

A1 = ∫ x dx – ∫ x3 – x dx = [ x2 / 2 ] – [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = Resolución -1 -1 -1 -1 A1 = ∫ x dx – ∫ x3 – x dx = [ x2 / 2 ] – [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = – √2 – √2 – √2 – √2 = [ 1 / 2 – 2 / 2 ] – [ (1/4 – ½) – (4/4 – 2/2)] = – 0,5 – ( – 0,25)= – 0,25 0 0 A2 = ∫ x dx = [ x2 / 2 ] = 0 – ½ = – 0,5 – 1 – 1 0 0 A3 = ∫ x3 – x dx = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = 0 – (1/4 – ½) = 0,25 – 1 – 1 El área pedida será: A = 2.|A1| + 2.|A2|+2.A3 = 2.| – 0,25|+2.| – 0,5|+2.0,25 = 2 u2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.