Decisiones de Inversión Matemática financiera Lic. Francisco Lira Preston University Guatemala

Interés Simple y Compuesto La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no pagados, que ingresan o se suman al capital inicial. 40

Operaciones a Interés Compuesto 􀃔 Capitalización de intereses: Es el proceso de agregar a un capital, los intereses simples de los periodos de uso del dinero, entre la fecha en que se formó ese capital y la fecha elegida para agregar intereses. 􀃔 Periodo de capitalización: Es el intervalo de tiempo convenido para capitalizar los intereses (meses, trimestres, años , etc.).

Operaciones a Interés Compuesto 􀃔 Tasa de interés compuesto: Es la tasa de interés por periodo de capitalización. 􀃔 Frecuencia de capitalización: También llamado periodo de capitalización o de conversión. Es el número de veces en que se capitalizan los intereses en el tiempo de uso del dinero.

El Concepto de Equivalencia En forma matemática: S=P(1+i)n donde: S = Suma futura poseída al final de n períodos. i = Tasa de equivalencia, fracción, mayor que cero y menor que 1 definida para el período (año, mes, día,...) P = Suma de capital colocada en el período cero. n = Número de períodos Este es el concepto básico 13

Tasa de interés efectiva y nominal Dependiendo de la forma como se liquiden los intereses estipulados en una transacción, entonces se presentarán diferencias entre el interés “verdadero” y el pactado. Estas tasas se llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés nominales. 87

Tasa de interés nominal Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente. 88

Tasa de interés efectiva Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipulado inicialmente para ella. Dicha tasa puede calcularse en virtud de que el interés es compuesto, ya que las liquidaciones del mismo se han acumulado. 89

Condiciones para la tasa de interés efectiva Para estos ejemplos, es importante reiterar que un interés efectivo implica: liquidación de intereses en períodos de tiempo menores al estipulado para la tasa de interés nominal; acumulación (real o virtual) de los intereses generados durante el período indicado; y interés compuesto. 92

Ejemplo Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000 al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se considera que 2% mensual es lo mismo que decir 24% anual liquidado mensualmente vencido, entonces esta expresión se puede escribir como 1,000(1+0.24/12) 12 93

Tasa de interés efectiva y nominal Si se generaliza y se piensa que el 24% anual liquidado mensualmente vencido es la tasa de interés nominal, entonces el valor acumulado es P(1+inom/n)n El valor de los intereses en el ejemplo es $268.24, (1,268.24-1,000). La tasa de interés es 268.24/1,000=26.82% 94

La efectiva depende de la nominal La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés nominal. Tasa mensual Tasa nominal Tasa efectiva (tasa periódica) anual anual 1.0% 12% 12.68% 1.5% 18% 19.56% 2.0% 24% 26.82% 2.5% 30% 34.49% 3.0% 36% 42.58% 90

... y de la frecuencia de liquidación La frecuencia con que se liquida una tasa nominal, influye en la tasa efectiva. Esto puede verse en una tabla, a partir de una tasa anual nominal 24% : Período i por período Períodos iea Año 24.00% 1 24.00% Semestre 12.00% 2 25.44% Cuatrimestre 8.00% 3 25.97% Trimestre 6.00% 4 26.25% Bimestre 4.00% 6 26.53% Mes 2.00% 12 26.82% Día 0.0658% 365 27.11% 91

Condiciones para la tasa de interés efectiva Para estos ejemplos, es importante reiterar que un interés efectivo implica: liquidación de intereses en períodos de tiempo menores al estipulado para la tasa de interés nominal; acumulación (real o virtual) de los intereses generados durante el período indicado; y interés compuesto. 92

Ejemplo Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000 al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se considera que 2% mensual es lo mismo que decir 24% anual liquidado mensualmente vencido, entonces esta expresión se puede escribir como 1,000(1+0.24/12) 12 93

Tasa de interés efectiva Dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida el interés (vencido), entonces el interés efectivo es: Donde: ief = tasa de interés efectiva n = número de veces que se liquida o capitaliza el interés nominal durante el período inom = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido 95

Tasa de interés efectiva en Excel En Excel se utiliza la función =INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año) 96

Tasa de interés continua Cuando n es muy grande se dice que tiende a(infinito) y en ese caso, la expresión queda reducida a donde: e = base de logaritmos naturales inom = tasa de interés nominal anual A esta expresión se llama tasa de interés continua. 97

Cuando la nominal es anticipada... Cuando la tasa de interés nominal se liquida anticipada, la fórmula de la tasa de interés efectiva se convierte en Excel no tiene una fórmula diseñada para este caso. 100

Tasa de interés nominal La tasa interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es: Donde: ief = tasa de interés efectiva anual n = número de veces que se liquida durante el período inom = tasa de interés nominal por período, liquidada vencida 101

Tasa de interés nominal en Excel =TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos) interés efectivo = tasa de interés efectiva anual num. períodos = número de veces que se liquida durante el año. Esta tasa nominal anual, liquidada vencida. 102

Relación entre tasa periódica y nominal Tasa de interés periódica es igual a tasa de interés nominal dividida por el número de períodos ip = inom/n y viceversa inom =n x ip 103

Transformaciones entre tasas nominales En las transformaciones entre tasas de interés nominales debe distinguirse entre transformaciones con períodos de liquidación iguales y desiguales. Para el caso de períodos de liquidación iguales: 104

Transformaciones entre tasas nominales 105

Transformaciones entre tasas nominales Para períodos de liquidación diferentes: Con la inom v con período de liquidación n1 se calcula la tasa efectiva y con esta última se calcula la nueva inom n2. Para llegar a la tasa nominal vencida si se tiene una anticipada se utiliza primero el procedimiento para convertir de tasa anticipada a vencida con igual período. 106

Transformaciones entre tasas nominales 107

Ejemplo 108