LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TRABAJO CON PARÁMETROS U.D. 4.5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo con parámetro EJEMPLO_6 4 – x2 , si x < 2  Función cuadrática f(x) = x – a , si x >= 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua, independientemente de lo que valga el parámetro a. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = 2 – a Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 4 – 22 = 4 – 4 = 0 Lím f(x) = 2 – a x2- x2+ Si a<>2 los límites laterales no coinciden, luego no hay límite en x=2 El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha sólo si a=2, en cuyo caso existe dicho límite y vale 0 3) f(2) = lím f(x) , pues 0 = 0 , si a = 2 x2 @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 3 3

Ejemplo con parámetro … EJEMPLO_6 4 – x2 , si x < 2  Función cuadrática f(x) = x – a , si x >= 2  Función lineal Discusión: Si a = 2 F(2) = 2 – a = 2 – 2 = 0 Lím f(x) = Lím f(x) = 0 x2- x2+ La función es continua en x=2. Si a <>2 F(2) = 2 – a <> 0 Lím f(x) = 0 , Lím f(x) = 2 – a <> 0 x2- x2+ La función en x=2 presenta una DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA ESPECIE SALTO FINITO. @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 4 4

Ejemplo con parámetros 4 / (x – 3) , si x > 1  Función racional f(x) = b , si x = 1 x – a , si x < 1  Función lineal A la izquierda de x=1 ( función lineal ) la función es continua, salvo en x = 3, donde presenta una asíntota vertical y por tanto una discontinuidad de segunda especie de salto infinito. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua, independientemente de lo que valga el parámetro a. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = b Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función, aunque de imagen existente pero de valor indeterminado. 2) Lím f(x) = 1 – a Lím f(x) = 4 / (1 – 3) = 4 / (– 2) = – 2 x1- x1+ Si a = 3 los límites laterales coinciden, luego hay límite en x=1 y vale – 2 Si a <> 3 los límites laterales no coinciden, luego no hay límite en x=1. 3) f(1) = lím f(x) = – 2 , sólo si hay límite de f(x) en x= 1 y b= – 2 x1 @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 5 5

Lím f(x) = Lím f(x)  1 – a = – 2  1 – 3 = – 2 x1- x1+ … DISCUSIÓN Ejemplo 7 Si a = 3 y b = – 2 F(1) = b = – 2 Lím f(x) = Lím f(x)  1 – a = – 2  1 – 3 = – 2 x1- x1+ La función es continua en x=1. Es continua en R – {3} Si a = 3 y b <> – 2 F(1) = b <> – 2 La función en x=1 presenta una discontinuidad de primera especie. Es continua en R – {1, 3} Si a <>3 F(1) = b Lím f(x) = 1 – a <> – 2 0 , Lím f(x) = – 2 x1- x1+ La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA ESPECIE SALTO FINITO. @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 6 6

Ejemplo con parámetros Estudia la continuidad de la siguiente función para los distintos valores del parámetro a: f (x) = x2 + ax si x ≤ 2 a – x2 si x > 2 En x ≠ 2, la función es continua. En x = 2: 1) f (2) = (22 + a2) = 4 + 2a 2) Lím f (x) = (22 + a2) = 4+2a x2- 2) Lím f (x) = (a – 22 ) = a – 4 x2+ Para que tenga límite en x=2: 4+2.a = a – 4  a = – 8 y lím f(x) = – 12 x2 3) Si a= – 8, entonces f(2) = 4 + 2.(-8) = - 12 Por tanto, la función es continua si a = –8, y es discontinua (en x = 2) si a ≠ –8. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo con parámetros Hallar a y b de modo que la siguiente función sea continua en todo R. a.(x – 1)2 , si x ≤ 0  Función cuadrática f(x) = sen (b+x) , si 0 < x < π  Función trigonométrica π/x , si x ≥ π  Función de proporcionalidad inversa SOLUCIÓN A la izquierda de x=0 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x = 0 ( función trigonométrica) es continua (función seno). Miramos si es continua en el punto x=0 1) f(0) = a.(0–1)2 = a.1 = a Es decir, x=0 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = a.(0–1)2 = a.1 = a Lím f(x) = sen (b+0) = sen b x0- x0+ Para que exista límite en x = 0  a = sen b. 3) f(0) = lím f(x)  a = sen b x0 La función será continua en x=0 si a= sen b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Miramos si es continua en el punto x= π 1) f(π) = π / π = 1 … EJEMPLO_9 … SOLUCIÓN A la izquierda de x= π ( función trigonométrica ) es continua (función seno). A la derecha de x = π ( función de p. inversa) es continua, pues x <> 0. Miramos si es continua en el punto x= π 1) f(π) = π / π = 1 Es decir, x= π es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = sen (π + b) Lím f(x) = π / π = 1 x π- x π+ Para que exista límite en x = π  sen (π + b) = 1 3) f(π) = lím f(x)  sen (π + b) = 1  π + b = π/2 + 2.k.π x π La función será continua en x= π si b = – π/2 + 2.k.π Se deben cumplir pues: a= sen b b = – π/2 + 2.k.π Es decir: a = sen (– π/2) = – 1  b = arc sen (– 1) = 3.π/2 + 2.k.π @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo con parámetros Determinar los valores de a y b para que la función sea continua en R , si x < 0 f(x) = 6, si x = 0 sen x 3.a. -------- + b.(x – 1) , si x > 0 x A la izquierda de x=0 es continua. A la derecha de x=0 es continua. Miramos si es continua en el punto x=0 1) f(0) = 6. Es decir, x=0 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = a.1 + b Lím f(x) = 3.a + b.(– 1) = 3.a – b x0- x0+ Para que halla límite en x=0 se debe cumplir: a.1 + b = 3.a – b 3) f(0) = lím f(x)  se deberá cumplir: 6 = a + b = 3.a – b x0 La función en x=0 será continua si a = 3 , b = 3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo con parámetros Estudiar la continuidad de la función para los distintos valores del parámetro real k. ex f(x) = ----------- x2 + k Miramos si es continua en el punto x=k 1) ek f(k) = ----------- , vemos que k = {-1,0} no forma parte del dominio. k2 + k 2) ex ek ek Lím f(x) = ----------- = ---------- = ------------- x  k x2 + k k2 + k k.(k + 1) Para k >0 la función es continua en todo R. Para k ≤ 0 presenta discontinuidades asintóticas en todos los puntos tales que: x2 + k = 0  x2 = – k  x = ±√ (– k) Es decir, presenta infinitos puntos de discontinuidad (salto infinito). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.