Introducción El motivar los temas tratados en el contexto de la carrera es y ha sido una de mis grandes preocupaciones. De ahí que considere de acuerdo a la temática, al menos, 2 grandes aspectos a considerar como motivación. Una es a consecuencia del perfil del ingeniero en computación de la ULS y que es hacia la Ingeniería de Software, luego la implementación de códigos eficientes y eficaces es una necesidad. La otra está relacionada con el modelamiento de fenómenos físicos (y/o naturales) y que logran a través de las ecuaciones diferenciales que pueden ser resueltas mediante series de Fourier, que es una descomposición diferente , ya que ahora usa descomposición en series de senos y cosenos.

Motivación…de las series. Medidas: Usar un modelo simple para operaciones básicas. Todas las operaciones básicas toman exactamente una unidad de tiempo para su ejecución. x = 4 asignación,.. x + 5 ... +, -, *, / , aritmetico if (x < y) ... Comparación x[4] índice en un array x.hola( ) llamar a un método analysis = determining run-time efficiency. model = estimate, not meant to represent everything in real-world

Cuántas veces se aplica hola? for (j = 1; j <= N; ++j) { hola( ); } Σ N j = 1 1 = N

Y ahora? Σ Σ for (j = 1; j <= N; ++j) { for (k = 1; k <= M; ++k) { hola( ); } Σ N j = 1 Σ M k = 1 1 = NM

Y ahora..? Σ Σ Σ for (j = 1; j <= N; ++j) { for (k = 1; k <= j; ++k) { hola( ); } N (N + 1) Σ N j = 1 Σ j k = 1 Σ N j = 1 1 = j = 2

Y ahora..? N(N + 1)/2 NM for (j = 0; j < N; ++j) { for (k = 0; k < j; ++k) { hola( ); } for (k = 0; k < M; ++k) { N(N + 1)/2 NM

Finalmente---?? void hola(int N) { if(N <= 2) return; hola(N / 2); } T(0) = T(1) = T(2) = 1 T(n) = 1 + T(n/2) if n > 2 T(n) = 1 + (1 + T(n/4)) = 2 + T(n/4) = 2 + (1 + T(n/8)) = 3 + T(n/8) = 3 + (1 + T(n/16)) = 4 + T(n/16) … ≈ log2 n

Multiple variables O(N2M + NM2) for(j = 1; j <= N; ++j) for(k = 1; k <= N; ++k) for(l = 1; l <= M; ++l) hola(); for(k = 1; k <= M; ++k) O(N2M + NM2)

Para n = 1,000, y 1 ms / operaciones. n = 1000, 1 ms/op max n en un día n 1 seg 86,400,000 n log2 n 10 seg 3,943,234 n2 17 min 9,295 n3 12 día 442 n4 32 años 96 n10 3.17  1019 años 6 2n 1.07  10301 años 26

Rendimiento Reglas generales que ayudan a medir: Operaciones Básicas Declaraciones Condicionales Ciclos Llamada a Funciones Recursividad Tiempo constante Suma del nº de declaraciones Test, + la rama de costo mayor Suma de iteraciones Costo del cuerpo de la función Resolver “recurrence relation”

Ejemplo statement1; statement2; statement3; for (int i = 1; i <= N; i++) { statement4; } statement5; statement6; statement7; 4N + 3 3 N 3N

Ejemplo for (int i = 1; i <= N; i++) { for (int j = 1; j <= N; j++) { statement1; } statement2; statement3; statement4; statement5; Cuántas declaraciones se ejecutarán si N = 10? Y Si N = 1000? N2 N2 + 4N 4N

Tasas relativa de crecimiento La ejecución de muchos ‘algorithms' pueden ser expresados como una función sobre el tamaño de la entrada ( input N) Objetivo: distinguir entre fast- y slow- functions

Tasa de crecimiento Considere el gráfico de las funciones, para comparar. La herramienta Wolfram Alpha le podrá ayudar. ¿Cuál crece más rápido? n3 + 2n2 100n2 + 1000 Vea la gráfica.!!, Saque sus conclusiones.

No se deje influenciar Mire ahora!!.

Operador O Para una función dada g(n), O(g(n) es el conjunto de funciones O(g(n)) = {f(n) : existe una constante positiva c y un índice n0 , tal que, 0  f(n)  cg(n), para todo n  n0}

Visual O( ) cg(n) f(n) f(n) = O(g(n)) n0 Cota superior Trabajo Nuestro Algoritmo n0 Tamaño de la entrada

Simplificando O( ) Se dice complejidad Big O de 3n2 + 2 = O(n2) Ya que existe n0 y c, tal que: 0  3n2 + 2  cn2 , para n  n0 i.e. Si c = 4 y n0 = 2 se obtiene: 0  3n2 + 2  4n2 , para n  2

2 categorías de Algoritmos No-razonable 1035 1030 1025 1020 1015 trillion billion million 1000 100 10 NN 2N Razonable Tiempo sec N5 N 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Tamaño de la entrada (N)

Resumen Razonable tienen factor polinomial O (Log N) O (N) O (NK) , donde K es una constante No razonable tienen factor exponencial O (2N) O (N!) O (NN)

Introducción Los polinomios y series de Taylor nos permiten a menudo aproximar una función por polinomios, o hallar una serie de potencias que converja a la función. Los polinomios en general y las series de Taylor en particular son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud, de allí que se intenta buscar un polinomio que se le parezca y se usa dicho polinomio en su lugar. En este proceso es obvio que se pierde la exactitud de cálculo y se gana la operatividad, pues ni modo…aquí un ejemplo.

Aplicaciones a la aproximación

Aplicaciones a la aproximación ¿Qué significa la representación en serie de una función? Cualquier función periódica pueden representarse mediante una serie de funciones trigonométricas de frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental de la señal dada. Esta serie es la denominada Serie de Fourier, que puede ser exponencial o trigonométrica. La serie converge el valor de la función, es decir, a medida que se suman más términos a la serie ésta es más “parecida” a la función que representa.

Series de Fourier Bueno, así como los polinomios y series de Taylor nos permiten a menudo aproximar una función por polinomios, o hallar una serie de potencias que converja a la función. El análisis de Fourier es muy similar, sólo que ahora nos plantearemos la aproximación de una función por combinaciones de funciones seno y coseno elegidas adecuadamente. Obviamente la primera pregunta que uno se hace es ¿por qué vamos a querer aproximar ahora una función por combinaciones de senos y cosenos ?. ¿Dónde se da esto de poder combinar senos con cosenos?.

En particular, lo que por ahora a un informático le interesa está relacionado con el análisis de circuitos, tratamiento de la señal, cuyo análisis se sustenta en el análisis de Fourier. Recientemente se ha desarrollado una herramienta, las ondículas (wavelets en inglés) que suponen un refinamiento del análisis de Fourier y que están teniendo una importancia decisiva en el tratamiento de la señal. Las wavelets se han usado para comprimir los archivos digitales de huellas dactilares del FBI, se usan en la mayoría de las películas de animación que se realizan en la actualidad, en los formatos de imagen jpg (a partir de 2000), en la detección de cánceres, en los estudios geológicos, entre otros.

Los patrones de onda de sonido producidas por la mayor parte de los instrumentos musicales no son senoidal. Las figuras características producidas por un diapasón, una flauta, un violín y un gong, cada uno ejecutando la misma nota, se ilustra en la siguiente figura, capturada por un Osciloscopio. Un osciloscopio, es un instrumento de laboratorio el cual se puede conectar a un micrófono y que muestra las ondas en una pantalla. En Internet se puede encontrar "osciloscopios virtuales" que permiten hacer experimentos con ondas de sonoras.

Las ondas mecánicas, ya sean transversales o longitudinales, se pueden representar por medio de las funciones trigonométricas. El sonido son ondas longitudinales, donde la amplitud tiene que ver con la intensidad o volumen y la frecuencia está relacionada con el tono y con la posición en la escala musical.

Las series de Fourier son series con términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. ¿Pero donde se pueden dar este tipo de funciones.??

Los sucesos que se repiten con una cierta periodicidad son relativamente comunes en la naturaleza. Por ejemplo, las olas en el mar, las estaciones a lo largo del año, la transmisión del sonido, el péndulo de un reloj, las señales electromagnéticas emitidas por una antena, etc. Las series de Fourier y la transformada de Fourier han jugado y continúan jugando un papel fundamental en el estudio de estos problemas y el desarrollo de las Matemáticas.

En las ramas de la Electrónica e Ingeniería se trabajan diferentes formas de señales, ellas pueden ser: sinusoidal, cuadrada y triangular. Todas estas señales mencionadas son periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo. La aplicación del osciloscopio nos permite entender un poco mejor como son estas señales que se pueden determinar calculando la Serie de Fourier para cada una de estas.

A la hora de estudiar fenómenos periódicos tenemos dos frentes abiertos. - Conocer las leyes de la física que gobiernan el sistema que queremos modelar, ya se trate del movimiento de un fluido para estudiar las olas del mar y el otro que es - Cual es la relación entre la electricidad, el magnetismo, voltajes, resistencias y lo que sea necesario para estudiar una señal eléctrica.