Matemáticas 2º Bachillerato C.T. PLANOS Y SUPERFICIES U.D. 12 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. SUPERFICIE ESFÉRICA U.D. 12.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

SUPERFICIES DEL ESPACIO Se llama superficie del espacio al conjunto de puntos P(f(s,t), g(s,t), h(s,t)) que se obtienen dando todos los valores posibles a s y t, siendo f(s,t), g(s,t) y h(s,t) funciones continuas. Las funciones: x = f(s,t) y = g(s,t) z = h(s,t) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la superficie, donde s y t son los parámetros. En el caso particular de que f(s,t), g(s,t) y h(s,t) sean funciones de la forma a + b.t + c.s, P(f(s,t), g(s,t), h(s,t)) representa un plano. Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. Ejemplo Sea el plano que pasa por el punto A(2 ,– 1, 3) y sus vectores directores son u=(– 1, 3, 2) y v=(3, – 2 ,0). Hallar su ecuación paramétrica y define las funciones f(s,t), g(s,t) y h(s,t) que identifican dicho plano con una superficie del espacio. Solución (x,y, z) = (2,–1,3) + t.(–1,3,2) + s.(3,–2,0) es su ecuación vectorial. Las funciones que la definen como una curva en el espacio son: En paramétricas: x = 2 – t + 3.s f(s,t) = 2 – t + 3.s y = –1 + 3.t –2.s g(s,t) = –1 + 3.t – 2.s z = 3 + 2.t h(s,t) = 3 + 2.t Z Y X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. SUPERFICIE ESFÉRICA Se llama esfera al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, que es el centro de la esfera, C(a,b,c). La distancia desde un punto P, P(x,y,z), de la esfera al centro se denomina radio de la esfera, r. Para que un punto P(x,y,z) esté en la esfera ha de cumplirse: d(P,C) = r La ecuación implícita de la esfera será: (x – a)2+ (y – b)2+ (z – c)2 = r2 Z r c C(a,b,c) Y a X b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Centro y radio de la esfera La ecuación implícita de la esfera será: (x – a)2+ (y – b)2+ (z – c)2 = r2 Desarrollando la ecuación: x2 + y2 + z2 – 2.a.x – 2.b.y – 2.c.z + a2 + b2 + c2 = r2 DEDUCCIÓN DEL CENTRO Y RADIO DE UNA ESFERA Si nos dan la ecuación desarrollada de la esfera: A.x2 + A.y2 + A.z2 + B.x + C.y + D.z + E = 0 x2 + y2 + z2 + (B/A).x + (C/A).y + (D/A).z + (E/A) = 0 , si A<>1 Podemos deducir el centro y el radio comparando términos semejantes. – 2.a = B/A  a = – B/2.A – 2.b = C/A  b = – C/2.A – 2.c = D/A  c = – D/2.A a2 + b2 + c2 – r2 = E/A  r = √(a2+b2+c2–E/A)=√(B2+C2+D2–4.A.E) / 2.A Si el discriminante es negativo la esfera no es real. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Halla la ecuación de la esfera que tiene por centro y radio: 1º.- C(0, 1, 1), r=4  C: x2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 – 42 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + z2 – 2y – 2z – 14 = 0 2º.- C(-1, 0, 0), r=3  C: (x +1)2 + y2 + z2 – 32 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + z2 + 2x – 8 = 0 3º.- C(2, -2, -1), r=1  C: (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2– 12 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + z2– 4x + 4y + 2z + 8 = 0 4º.- C(-7, -5, 3), r=2  C: (x +7)2 + (y + 5)2 + (z – 3)2– 22 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + z2 + 14x + 10y – 6z + 79 = 0 5º.- C(k, 0, k), r=k  C: (x – k)2 + y2 + (z – k)2 – k2 = 0 Operando queda: C: x2 + y2 + z2 – 2.k.x – 2.k.z + k2 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Halla el centro C(a, b, c) y radio r de las circunferencias: 1º.- C: x2 + y2 + z2 + 2y – 8 = 0  a = c = 0  2b = - 2  b = -1 b2 – r2 = - 8  1 – r2 = – 8  r2 = 9  r = 3 2º.- C: x2 + y2 + z2– 6x + 9 = 0  b = c = 0  2a = 6  a = 3 a2 – r2 = 9  9 – r2 = 9  r2 = 0  r = 0 No hay 3º.- C: x2 + y2 + z2– 4y = 0  a = c = 0  2b = 4  b = 2 b2 – r2 = 0  4 – r2 = 0  r2 = 4  r = 2 4º.- C: x2 + y2 + z2 – 4 y + 2z + 9 = 0  a = 0, c = – 1, b = 2 b2 + c2 – r2 = 9  1 + 4 – r2 = 9  r2 = – 4  r = No es real 4º.- C: x2 + y2 + z2 + 2x – 4 y – 4 = 0  a = – 1 , b = 2 , c = 0 a2 + b2 – r2 = – 4  1 + 4 – r2 = – 4  r2 = 9  r = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POSICIÓN DE ESFERA Y PLANO Un plano respecto a una esfera puede ser exterior cuando ni la corta ni la toca, tangente cuando la toca en un punto, y secante cuando la corta. Para saber la posición relativa en el espacio de un plano y una esfera basta con hallar la distancia del centro de la esfera, C(a,b,c), al plano, π, cuya ecuación implícita es Ax+By+Cz+D=0 La distancia del centro al plano (de un punto al plano) es: d(C, π) = |A.a + B.b + C.c + D| / √(A2+B2+C2) Plano exterior: Plano tangente: Plano secante: d(C, π) > r d(C, π) = r d(C, π) < r P d r r C C C r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. Ejercicios Estudiar la posición relativa de un plano (exterior, tangente o secante) con respecto a la esfera de ecuación: (x – 2)2+(y + 3)2+(z – 1)2 = 25 Ejercicio 1: Siendo el plano π: 8.x – 6.z + 7 = 0 La distancia del centro, C(2 ,– 3 , 1) al plano: d(C, π) = |A.a + B.b + C.c + D| / √(A2+B2+C2) d(C, π) = |8.2 + 0.(-3) + (-6).1 + 7| / √(82+02+(-6)2) = 17 / 10 = 1,70 Plano secante, pues d(C, π) < r  1,70 < 5 Ejercicio 2: Siendo el plano π: 3x + 4y – 12.z + 96 = 0 d(C, π) = |3.2 + 4.(-3) + (-12).1 + 96| / √(32+42+(-12)2) = 78 / 13 = 6 Plano exterior, pues d(C, π) > r  6 > 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. Ejercicios Estudiar la posición relativa de un plano (exterior, tangente o secante) con respecto a la esfera de ecuación: (x – 2)2+(y + 3)2+(z – 1)2 = 25 Ejercicio 3: Siendo el plano π: 8.x + 6.y – 48 = 0 La distancia del centro, C(2 ,– 3 , 1) al plano: d(C, π) = |A.a + B.b + C.c + D| / √(A2+B2+C2) d(C, π) = |8.2 + 6.(-3) + 0.1 – 48| / √(82+62+02) = 50 / 10 = 5 Plano tangente, pues d(C, π) = r  5 = 5 Ejercicio 4: Hallar k para que el plano π: x – y + k.z = 0 sea tangente a la mencionada esfera de centro, C(2 ,– 3 , 1). d(C, π) = |A.a + B.b + C.c + D| / √(A2+B2+C2) = r |1.2 + (-3).(-1) + 1.k| / √(12+(-1)2+k2) = 5 (k+5) /(√(2+k2) = 5  k2 + 10.k + 25 = 25.(2+ k2)  24.k2 – 10.k + 25 = 0 Discriminante = 100 – 2400 < 0  No hay ningún valor real de k. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

POSICIÓN DE RECTA Y ESFERA Una recta respecto a una esfera puede ser exterior cuando ni la corta ni la toca, tangente cuando la toca en un punto, y secante cuando la corta. Para saber la posición relativa en el espacio de una recta y una esfera basta con hallar la distancia del centro de la esfera, C(a,b,c), a la recta, r, cuya ecuación es (x, y, z) = (Ax, Ay , Az) + k (ux, uy, uz) La distancia del centro al plano (de un punto al plano) es: d(C, r) = |AP x u| / |u| Recta exterior: Recta tangente: Recta secante: d(C, r) > r d(C, r) = r d(C, r) < r P P d r r r Q r C r C r C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. Ejercicios Estudiar la posición relativa de una recta (exterior, tangente o secante) con respecto a la esfera de ecuación: (x – 2)2+(y + 3)2+(z – 1)2 = 25 Ejercicio 1: Siendo la recta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(1 ,– 1 , 1) La distancia del centro, C(2 ,– 3 , 1) a la recta es: i j k d(C, r) = |AC x u| / |u| = 2-1 -3-1 1-1 / √(12+(-1)2+12) = 1 -1 1 =|-4i-k+4k-j| / √3 = |-4i-j + 3k| / √3 = √(16+1+9) / √3 = 5 / √3 Recta secante pues d(C, r) < r  (5 /√3) < 5 Hallemos los puntos de corte de recta y esfera: En la recta: x = 1 + k , y = 1 – k , z = 1 + k En la esfera: (1 + k – 2)2+(1 – k + 3)2+(1 + k – 1)2 = 25 Operando: k2 + k2 + k2 – 2.k – 8k + 1 + 16 = 25 3.k2 – 10.k – 8 = 0  k = 10 +/-√(100 + 96)] / 6  k = 4 y k = – 2 / 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. Ejercicios Estudiar la posición relativa de una recta (exterior, tangente o secante) con respecto a la esfera de ecuación: (x – 1)2+(y + 1)2+(z – 1)2 = 32 / 3 Ejercicio 2: Siendo la recta r: (x, y, z) = (-1, 1, -1) + k(1 , 1 , 1) La distancia del centro, C(1 ,– 1 , 1) a la recta es: i j k d(C, r) = |AC x u| / |u| = 1+1 -1-1 1+1 / √(12+ 12+12) = 1 1 1 =|-4i +4k| / √3 = √(16+0+16) / √3 = 4.√2 / √3 Radio esfera: r = √(32 / 3) = 4.√2 / √3 Recta tangente pues d(C, r) = r = 4.√2 / √3 Hallemos el punto de tangencia de recta y esfera: En la recta: x = –1 + k , y = 1 + k , z = – 1 + k En la esfera: (– 1 + k – 1)2+(1 + k + 1)2+(– 1 + k – 1)2 = 32 / 3 Operando: 3.k2 – 4.k + 12 = 32 / 3  9.k2 – 12.k + 4 = 0  k = 2/3, doble. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.