Operaciones. Las fracciones y sus operaciones Manuel Martínez jmmh48@gmail.com

Unidad 7. Operaciones LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONES Introducción. Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de la torta, O cuando tardamos media hora en hacer los deberes, En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.

Unidad 7. Operaciones Términos de una fracción. Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción. a Si tenemos dos números a y b , y b  0, entonces la expresión ------ es una fracción . b b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad. a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos. a  NUMERADOR ------ b  DENOMINADOR

Unidad 7. Operaciones Fracción de un número. Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos? Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas : 1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 2 10 : 5 = 2 2 . 2 = 4 2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5. 10 . 2 = 20 20 : 5 = 4

Unidad 7. Operaciones Tipos de Fracciones: Propias e Impropias. Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes: 1. Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad. la unidad 

Unidad 7. Operaciones 2. Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21 ------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47 Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad. 2 Por ejemplo ------ 3 Si la representamos gráficamente: 1 Unidad  2/3 Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias.

Unidad 7. Operaciones 3/3 + 1/3 3.Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9 ------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4 Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4 Por ejemplo ------ 3 Si la representamos gráficamente: 1 Unidad 1 Unidad   3/3 + 1/3 Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.

Unidad 7. Operaciones Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número natural y una fracción. 4 3 1 1 5 4 1 1 ------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + ----- 3 3 3 3 4 4 4 4 También podemos escribirlas de la siguiente forma. 4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- 3 3 3 5 1 1 4 4 4 1 1 1 ------ y 1 ------- 3 4 son números mixtos, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “

Unidad 7. Operaciones Fracciones Equivalentes. a c Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b d que a . d = b . c Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados. Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c ------ = ----  a . d = b . c b d Luego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.

Unidad 7. Operaciones a c Para indicar que dos fracciones son equivalentes ponemos ------ = ---- b d 2 4 La fracciones ---- y ---- son equivalentes 3 6 En efecto, comprobamos realizando los productos cruzados. 2 4 ------ ---- 3 6 2 . 6 = 12 3 . 4 = 12 Luego 2 . 6 = 3 . 4 , y así comprobamos que las fracciones son equivalentes. Entonces ------ y ---- son equivalentes 3 6

Por ejemplo : ------ y ---- Unidad 7. Operaciones Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentes a . d  b . C 3 4 Por ejemplo : ------ y ---- 2 5 3 . 5 = 15 2 . 4 = 8 Comprobamos que 15  8 Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes, y ponemos -----  ----

Unidad 7. Operaciones Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d ¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tienen mayor numerador. 2 3 3 2 Por ejemplo : ------ y ----  ------ > ----- 5 5 5 5 Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ----  ------ < ----- 4 3 4 3

Unidad 7. Operaciones ¿ Qué sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus términos iguales? En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores. 2 3 Por ejemplo : ------ y ---- 3 4 2 4 6 8 ------ = ---- = ----- = ----- 3 6 9 12 Buscamos fracciones equivalentes. 3 6 9 ------ = ---- = ----- 4 8 12 8 9 2 3 Como ------ < ---- , entonces ---- < ----- 12 12 3 4

Unidad 7. Operaciones suma y resta con: Mismo Denominador: Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ---- b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador. a c a + c ------ + ---- = -------- b b b 3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7

Unidad 7. Operaciones O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c ----- - ---- = -------- b b b 3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7 3 2 3 - 2 1 ------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7 Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

b) Distinto Denominador. Unidad 7. Operaciones b) Distinto Denominador. Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador. Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador 3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2

Unidad 7. Operaciones 3 6 ------ = ----- 5 10 4 8 12 16 20 3 6 ------ = ----- 5 10 4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = ------- 2 4 6 8 10 4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10 4 3 20 6 20 – 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------ 2 5 10 10 10 10

Unidad 7. Operaciones Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. )

Unidad 7. Operaciones 1 2 3 Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ 2 3 4 Calculamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12 2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción. 1 1 6 ------  12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6  ------ = ------ 2 2 12 2 2 8 ------  12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8  ------ = ------ 3 3 12 3 3 9 ------  12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12

Unidad 7. Operaciones 6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas. 1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12 1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12

Unidad 7. Operaciones Multiplicación y División a c Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d a c a . c ------ . ---- = ---------- b d b . d Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores.

Unidad 7. Operaciones Por ejemplo: 1 2 1 . 2 2 1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a c Para dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos b d a c a d a . d ----  ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c

---- : --- = --------- = ------ Unidad 7. Operaciones Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda. Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------  ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4 También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra. a c a . d ---- : --- = --------- b d b . C 3 2 3 . 5 15 ---- : --- = --------- = ------ 2 5 2 . 2 4