Todo depende de la vara con que se mida:

Yo desconozco lo que mide una vara, aquí medimos en “canas” Esta escena transcurre antes de la implantación del metro Le voy a vender baratas estas “varas” de paño. Espero hacer más negocios en el futuro Yo desconozco lo que mide una vara, aquí medimos en “canas” La vara, como ya conoces, era una medida de longitud que se utilizaba en muchos sitios. En Castilla y Andalucía equivalía a 0’835905 m La cana era una medida de longitud que se utilizaba en Cataluña. Equivalía a 1’559 m

VARA CASTELLANA Y PATRÓN MATERIAS: Acero, madera INSTITUCIÓN: Real Academia de la Historia AUTOR: Rojo, A.

Hay una forma de comparar las dos medidas Hay una forma de comparar las dos medidas. Si lo hacemos, podremos pasar de varas a canas con una simple multiplicación ¡Vamos allá! ¡Explíquemelo!

n a v b v sólo cabe una vez en n, y sobra un segmento a. Ahora compararemos v con a: c cabe dos veces y pico en b, como no tenemos una lupa no podemos precisar más, aunque vienen a ser unas dos veces y media. No obstante,la diferencia con la realidad es tan pequeña que el error que cometeremos será insignificante n a a cabe una vez en v, y sobra otro segmento b. A continuación compararemos a con b, y así sucesivamente. b cabe seis veces en a y sobra c Vara v b a c b b b b ¡Para pasar de canas a varas, aproximadamente,hay que multiplicar por 1’86! b b c c Cana

Veamos otros ejemplos de comparación de longitudes que nos aclaren el procedimiento

COMPARACIÓN DE LOS SEGMENTOS m Y n DEL DIBUJO m = n + a Comparemos n con m: n cabe una vez en m y sobra un segmento a. a a n = 2a + b b Ahora comparamos a con n: a cabe dos veces en n y sobra otro segmento b. b a = 4b Siguiendo con el proceso, comparamos b con a: b cabe exactamente cuatro veces en a. Se terminaron las comparaciones. = 9b + 4b = 13b = 2·4b + b = 9b m n b 9b = 13 9 m = 13/9·n m n

Comparemos estos dos nuevos segmentos: a n cabe dos veces en m y sobra un segmento a m = 2n + a n = 3a + b Ahora comparamos a con n: a cabe tres veces en n y sobra b a b a = b + c Continuando el proceso, b cabe una vez en a y sobra c b c c Por último, ¡hemos vuelto a tener suerte suerte!, y dos veces c encajan exactamente en b: fin del proceso. b = 2c = 22c + 3c = 25c = 9c + c = 11c = 2c + c = 3c m n c = 25 11 . m n = 25/11·n m

En tu cuaderno tienes estos dos segmentos. Utiliza un compás y una regla sin graduar (aún no se ha inventado el metro) para compararlos. Observa los resultados que obtienen el resto de tus compañeros.

8 A continuación compararemos dos segmentos más conocidos. Intentaremos hallar la relación entre un segmento que mide 1 y otro que mide 8 Veamos como dibujar este último segmento:

8 u 2 8 Hemos llamado u al segmento unidad

8 a 8 = 2·u+ a u=a+b a=4·b+c u u b a c b b b b

c b b=c+d c=4·d+e d e d d d d e Como no tenemos una lupa más grande, y los segmentos d y e son muy pequeños y parecidos, podemos detener el proceso considerando que la diferencia entre ambos no es significativa y que son prácticamente iguales: d e d d d d e

Hemos conseguido una aproximación del valor de raíz de 8 igual a 99/35

Hemos visto varios ejemplos de comparación. En algunos casos, uno de los segmentos terminaba encajando en el anterior y se terminaba el proceso. En otros, no podíamos continuar con precisión porque la parte sobrante era tan pequeña que hubiésemos necesitado una potente lupa o un microscopio para proseguir. Realizábamos una estimación y obteníamos un valor aproximado de la relación entre los segmentos. La pregunta clave es: si dispusiéramos de un microscopio todo lo potente que quisiésemos y de unos aparatos de medida exactos, ¿tendría que llegar necesariamente un momento en que alguno de los segmentos encajara en el anterior?

Siempre que terminamos el proceso, obtenemos un segmento como fracción del otro. Si todo proceso ha de detenerse tendremos, en particular, que raíz de 8 se podrá escribir de manera exacta como una fracción. Como ya sabes, este número no es racional: al compararlo con la unidad el proceso no puede detenerse. Actividades:. Sean m, n, p y q números naturales: * Si comparamos dos segmentos que miden m y n respectivamente, ¿cuánto mide el mayor segmento que encaja en ambos? * ¿Y si comparamos dos segmentos de medidas m/n y p/q?