LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena PROPOSICION Enunciado al que se lo puede calificar o bien como Verdadero o bien como Falso. NOTACIÓN: Primeras letras del abecedario en minúscula Ejemplos: a: "Hoy es Lunes" b: "Estoy en la clase de Física" Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena NO PROPOSICIONES ¡Ojala deje de llover! ¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y quédate quieto. VALOR DE VERDAD Cualidad de una proposición de ser verdadera o de ser falsa. Verdadero: 1 Falso: Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS NEGACIÓN No Lenguaje Relacionado No es verdad que No es cierto que Símbolo : Tabla de verdad Ejemplos : "Hoy no es Lunes " 1 :“ No Estoy en la clase de Física" 1 Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena CONJUNCIÓN OPERADORES LÓGICOS Lenguaje Relacionado “y” “pero” Símbolo: Ejemplo Tabla de verdad : "Tengo un lápiz" 1 1 1 : "Tengo un cuaderno" 1 : "Tengo un lápiz y un cuaderno " 1 Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena DISYUNCION INCLUSIVA OPERADORES LÓGICOS DISYUNCION INCLUSIVA Lenguaje Relacionado “O” Símbolo: Ejemplo Tabla de verdad : "Tengo un lápiz" : "Tengo un cuaderno " 1 1 1 : "Tengo un lápiz o un cuaderno " 1 1 1 1 Moisés Villena

“0……o.…..” LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena DISYUNCION EXCLUSIVA OPERADORES LÓGICOS DISYUNCION EXCLUSIVA “0……o.…..” Lenguaje Relacionado “o bien……o bien…..” Símbolo: Significa: Ejemplo Tabla de verdad : “Daniel está en España " 1 1 : “Daniel está en Italia" 1 1 : “Daniel está en España o en Italia" 1 1 Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Lenguaje Relacionado “Si…..entonces.….” Símbolo: Ejemplo : “Apruebas el preuniversitario" : “Te regalaré un carro" : “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro" Tabla de verdad 1 1 1 1 1 1 1 Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Antecedente Hipótesis Premisa Consecuente Tesis Conclusión. OTROS LENGUAJES RELACIONADOS: a implica b b cada vez que a Basta a para b b siempre que a a sólo si b b puesto que a a solamente si b b porque a b si a b con la condición de que a Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Condición Necesaria y Condición Suficiente verdadera “a es condición suficiente para b” “b es condición necesaria para a” Ejemplo: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" 1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2" “Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2" 2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4" “Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4" Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena VARIACIONES OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) VARIACIONES LA RECÍPROCA: LA INVERSA: LA CONTRARRECÍPROCA: Ejemplo: “Iré a trabajar si me pagan” Si me pagan entonces iré a trabajar LA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me pagan LA INVERSA: Si no me pagan entonces no iré a trabajar LA CONTRARRECÍPROCA: Si no voy a trabajar entonces no me pagan Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena VARIACIONES OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) VARIACIONES Importante Condicional: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" RECÍPROCA: "Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4" Falso Contraejemplo: “6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4" Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena BICONDICIONAL OPERADORES LÓGICOS Lenguaje Relacionado “…..si y sólo si.….” Símbolo: Significa: TABLA DE VERDAD 1 1 1 1 1 1 Ejemplo: : “Un triángulo es equilátero” : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida” : “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de igual medida” Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS No poseen operador lógico Formadas por varias proposiciones y operadores lógicos Compuestas: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de sus proposiciones simples. Ejemplo: Suponga que: Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Ejemplo: Determine el valor de verdad de las proposiciones simples sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta es VERDADERO. Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena FORMAS PROPOSICIONALES Expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales. Ejemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena Ejemplo FORMAS PROPOSICIONALES TAUTOLOGÍA Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales Ejemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CONTRADICCION: Si se obtienen sólo proposiciones falsas Si se obtienen proposiciones verdaderas y otras falsas. CONTINGENCIA: Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena IMPLICACIONES LÓGICAS Ejemplo Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: Ejemplo Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena IMPLICACIONES LÓGICAS Algunas implicaciones lógicas típicas son: Adición Simplificación Modus Ponens Modus Tollens Silogismo Disyuntivo Silogismo Hipotético Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena EQUIVALENCIAS LÓGICAS Ejemplo Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: También: Ejemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena ALGEBRA DE PROPOSICIONES CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN Conmutativa Asociativa Idempotencia Identidad Absorción Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras: Leyes distributivas Doble negación Leyes de De Morgan Contrarrecíproca Implicación Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras: Ley del tercer excluido Ley de la contradicción Ley de exportación Reducción al absurdo Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena Solución: Contradicción Distributivas EJEMPLO Demostrar: Solución: Identidad Contradicción Distributivas Idempotencia Distributivas Contradicción Identidad Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena Solución: Primero: Segundo: Sea la proposición: EJEMPLO “Si tú eres inteligente y no resuelves el problema entonces desconoces la materia ” Siendo: m: Tú eres inteligente n: Tú resuelves el problema p: Tú desconoces la materia Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: a) Solución: b) Primero: Traducción: c) Segundo: d) Transformamos empleando el álgebra de proposiciones: e) Implicación Ley de De Morgan Asociativa de la disyunción Implicación Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena a: Hoy es jueves Sea la proposición: EJEMPLO “Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga, entonces no voy a la Universidad” a: Hoy es jueves Siendo: b: Tengo que dar un examen c: Hay huelga d: Me voy a la Universidad Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: a) Solución: b) Primero: Traducción: c) Segundo: d) Transformamos : e) Contrarrecíproca Doble Negación Conmutativa Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena VALIDEZ RAZONAMIENTOS Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición compuesta que lo define, es tautológica. Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 1 EJEMPLO 1 "Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión" SOLUCIÓN: a: Aumenta la producción b: Aumentan los ingresos c: Se recupera la inversión Traducción: Forma proposicional: Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 1 EJEMPLO PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan De Morgan Asociativa Distributiva Del Tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del Tercero excluido Absorción para la disyunción Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 1 VALIDO EJEMPLO Segundo Método: Reducción al Absurdo VALIDO Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 2 EJEMPLO 2 "Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, no aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo" a: Soy estudioso Solución: b: Aprobaré el curso c: Soy fiestero Traducción: Forma proposicional: Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 2 PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan EJEMPLO 2 De Morgan Doble negación Asociativa Distributiva Del tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del tercero excluido Absorción para la disyunción Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 2 VALIDO Segundo Método: Reducción al Absurdo EJEMPLO 2 VALIDO Moisés Villena

LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 3 NO VALIDO EJEMPLO 3 La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil. Por lo tanto, la Lógica es difícil. Solución: a: La lógica es difícil b: La lógica les gusta a muchos estudiantes c: La Matemática es fácil. NO VALIDO Moisés Villena