APROXIMACIÓN NUMÉRICA A LAS ECUACIONES DE FLUJO

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Las ecuaciones de simulación de yacimientos, son en general ecuaciones diferenciales parciales no lineales. De las técnicas numéricas aplicables a la solución de ecuaciones diferenciales parciales, la Técnica de las Diferencias Finitas es las más utilizada. Entre las técnicas adicionales se tiene el método de Galerkin y el método del Elemento Finito.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser: donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es: donde f es una función arbitraria de y.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es que tiene la siguiente solución Donde c es cualquier valor constante (independiente de x).

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.

Clasificación de las EDP de segundo orden Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Clasificación de las EDP de segundo orden Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo: Se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0. Se dice que es parabólica si la matriz tiene un determinante igual a 0. se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un determinante menor a 0.

TÉCNICA DE LAS DIFERENCIAS FINITAS El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).

TÉCNICA DE LAS DIFERENCIAS FINITAS Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales.

TÉCNICA DE LAS DIFERENCIAS FINITAS