GEOMETRÍA: PROBLEMAS Prof. Ana Cabrera I.F.D. Florida PROYECTO NÓVELES MAESTROS Área Magisterial de la Dirección de Formación y Perfeccionamiento Docente GEOMETRÍA: PROBLEMAS Prof. Ana Cabrera I.F.D. Florida

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EL RADIO DEL CÍRCULO Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo

SOLUCIÓN Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EL LADO DEL ROMBO En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo?

SOLUCIÓN Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo.         Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo?

SOLUCIÓN 60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA CIRCUNFERENCIAS SECANTES Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?

SOLUCIÓN MN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EL ÁNGULO OBTUSO . ¿Cuánto mide el ángulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos medios de los lados.

120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF. SOLUCIÓN 120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EL ÁNGULO EXTERIOR En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50 ¿Cuál es la medida del ángulo x? .

SOLUCIÓN Puesto que es isósceles: B = C = (180°-A)/2 = 130°/2 = 65°. Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65° = 115°.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor? .

SOLUCIÓN Hagámoslo girar 45 hasta la posición que muestra la figura siguiente. Se observa que el área del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito; es decir, 8 unidades.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA NUEVE ÁNGULOS Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70. .

SOLUCIÓN El ángulo 2 mide 20°. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es 90°, pues el ángulo total abarca el diámetro. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el ángulo 6 mide 140°, el ángulo 7 mide 50° y los ángulos 8 y 9 son rectos

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE? Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice es par si de el parten un número par de caminos. El problema es imposible si en la red hay más de dos vértices impares. Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el otro. .

SOLUCIÓN Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la fila inferior.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA LOS TRES CUADRADOS. Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura. Usando solamente geometría elemental (no trigonometría) demostrar que el ángulo C es igual a la suma de los ángulos A y B. .

SOLUCIÓN La siguiente construcción muestra la solución del problema

SOLUCIÓN Esta otra construcción también muestra la solución del problema. Los triángulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ángulos A y O son iguales. Y como C=B+O, C=B+A.

SOLUCIÓN Usando trigonometría: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1. tg(A+B) = ... = 1 = tgC. Luego A+B=C.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA POSAVASOS Y SERVILLETA. Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centro del posavasos con la ayuda únicamente de la servilleta y un lápiz. .

SOLUCIÓN Colocamos uno de los vértices de la servilleta sobre cualquiera de los puntos de la circunferencia del posavasos. El ángulo definido por ABC es un ángulo recto, luego el segmento AC es un diámetro de la circunferencia. Trazamos con un lapicero la línea AC y repetimos la misma operación eligiendo como B cualquier otro punto del perímetro del posavasos. Una vez trazado el segundo diámetro ya está hallado el centro de la circunferencia.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA TRIÁNGULOS En la figura adjunta, ¿cuánto mide B?.

SOLUCIÓN B puede tener cualquier valor. Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor. x/6 = B/10 x = 6B/10 y/6 = B/15 y = 6B/15 Como B = x+y. Sustituyendo: B = 6B/10 + 6B/15; o bien: B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor de B.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA TRIÁNGULOS y CUADRILÁTEROS En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

SOLUCIÓN Observe que los triángulos sombreados de la figura son iguales por ser el triángulo rectángulo. El área de la sombra es la cuarta parte del área del cuadrado. Es decir, 36/4 = 9.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA La Mediana Probar que cada mediana de un triángulo es menor que el promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.

SOLUCIÓN Sólo hay que repetir un triángulo igual al primitivo, opuesto por la base, como se muestra en la figura adjunta. Es evidente que la diagonal de un cuadrilátero no puede ser mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por dos la diagonal queda la mediana del triángulo, que por tanto no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismos lados.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Área Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?

SOLUCIÓN Sí, son iguales. Veamos: (AB)2 = R2 + R2 = 2R2 Área del cuadrante = PiR2/4 Área del triángulo = R2/2 Área del segmento de arco AB = PiR2/4 - R2/2 Área de la luna = Pi(AB)2/8 - (PiR2/4 - R2/2) = PiR2/4 - PiR2/4 + R2/2 = R2/2.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA SUPERFICIE La zona sombreada representa un lago. ¿Cuál es la superficie del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados.

SOLUCIÓN El lago es un triángulo rectángulo. Para hallar su área, basta saber la longitud de los catetos: Área = 5x12/2 = 30 m².