Predicción II (predicción modelos ARMA) “There are two kind of forecasters: those who don´t know and those who don´t know they don´t know” John Kenneth Galbraith (1993)
Predicción Optima de modelos ARMA Sea un modelo ARMA general Objetivo: dada la información hasta el periodo n, queremos predecir ‘l-periodos adelante’
Criterium: Minimizar el error cuadrático medio
Otra interpretación de la predicción optima Sea Dada una función de perdida cuadratica, la predicción optima es la esperanza condicional, donde condicionamos sobre el conjunto de información pasada.
Fuentes del error de predicción Sea nuestra predicción :
Propiedades del error de prediccion MA(l-1) La predicción y el error de predicción estan incorrelacionados Insesgado
Intervalos de Predicción Asumiendo normalidad en los errores, los (1-a) 100% limites del intervalo de predicción se calculan como donde son los valores criticos de una Normal (0,1), tal que .
Propiedades del error de prediccion (cont) Errores de predicción 1-periodo adelante, , están incorrelacionados En general los errores de predicción, l-periodos adelante estan correlacionados n-j n n-j+l n+l
Predicción de un proceso AR(1) La predicción decae geometricamente cuando l aumenta
Predicción de un proceso AR(p) Necesitamos calcular las predicciones previas l-1,l-2,…. Algunos autores llaman a este metodo “plug-in”.
Predicción de un proceso MA(1) Esta es la media del proceso
Predicción de un proceso MA(q)
Actualización de predicciones Supongamos que tenemos las siguientes predicciones con información hasta el periodo “n” Cuando llega nueva información, podemos actualizar las predicciones previas?
Problems P1: Para cada uno de los siguientes modelos: Encuentra la predicción l-periodos por delante de Zn+l Encuentra la varianza del error de predicción a l-periodos por delante para l=1, 2, y 3. P2: Con la ayuda del operador annihilator (definido en el apendice) escribe la expresión para la predicción de un modelo AR(1) en terminos de Z. P3: Haz P2 para un modelo MA(1) .
Apendice I : El operador annihilator Buscamos una expresión compacta del operador de retardos que nos sirva para expresar las predicciones El operador annihilator es Entonces si
Apendice II: Predicción basada en retardos de Z Sea Entonces Formula de Wiener-Kolmogorov