Master en Economía y Desarrollo Matemáticas II Teoría de juegos y oligopolio Fundamentos III Jesús Muñoz San Miguel

Entorno del juego=tamaño del recurso La tragedia de los comunes (Juegos dinámicos markovianos) Fuentes de externalidad en el uso de un recurso de propiedad común: el uso de una persona disminuye los beneficios para el uso de otras personas (externalidad actual) la utilización conjunta puede afectar a la condición futura del recurso (externalidad futura) Juego dinámico markoviano El juego de etapa cambia en cada etapa y hay un entorno de juego (game environment) que cambia de un período a otro y afecta a las ganancias en el juego de etapa de cualquier período. Entorno del juego=tamaño del recurso Características del entorno Evoluciona a través del tiempo de acuerdo con el patrón de uso en el pasado y marca el uso futuro Cuantas más personas lo utilizan o cuanto más intensamente se utiliza menos hay en el futuro Afecta a los pagos en cada juego de etapa El tamaño del recurso determina la utilidad del usuario La pregunta clave es qué supone un "mejor" uso del recurso EXTRACCIÓN UNILATERAL Cada jugador maximiza su propia utilidad USO SOCIALMENTE ÓPTIMO Los jugadores maximizan la utilidad conjunta MODELO SIMPLE (recurso no renovable con dos períodos de tiempo) Recurso de propiedad común de tamaño y> 0. Cada uno de los dos jugadores puede retirar una cantidad c1 o c2 no negativa La función de utilidad es logarítmica y a un consumo c le corresponde una utilidad log(c) La cantidad total consumida no puede sobrepasar el recurso, c1 + c2 ≤ y, y el intento de consumir en exceso se traduce en que el recurso se reparte entre ellos y cada jugador consume la mitad. Cuando el consumo total es menor que el tamaño del recurso, y, la cantidad sobrante, y-(c1 + c2), es la futura base del recurso y, por tanto, del consumo futuro. Sólo hay un periodo más de consumo

SOLUCIÓN EXTRACCIÓN UNILATERAL Cada jugador maximiza su propia utilidad Período 2 Cada jugador decide la cantidad a consumir de la cantidad a su disposición y- (c1 + c2). Puesto que no hay más períodos, cada jugador consumirá tanto como sea posible. La cantidad total se divide entre ellos y cada uno tiene (y - (c1 + c2)) / 2 Periodo 1 El primer jugador determina la cantidad a consumir a partir del stock disponible Su utilidad depende de la cantidad que el jugador 2 decida consumir (su consumo determina el tamaño de los recursos que quedarán para el segundo periodo). El jugador 1 determina su nivel de consumo mediante un problema de mejor respuesta en función de la cantidad que el jugador 2 va a consumir en el primer período, c2 La mejor respuesta de consumo del jugador 1 es R1 (c2) = (y - c2) / 2 La mejor respuesta de consumo del jugador 2 es R2 (c1) = (y - c1) / 2 Los niveles de consumo en el equilibrio de Nash c1* y c2* son tales que R1 (c2*) = R2 (c1*). El equilibrio de Nash es c1* = c2* = y /3. En el primer período cada jugador consume y/3, dejando y/3 para el segundo período, En el segundo período esta cantidad se divide por la mitad con un consumo de y/6 cada uno. La utilidad para cada jugador es log (y /3) + log (y/ 6)=2log (y )- log 18

SOLUCIÓN USO SOCIALMENTE ÓPTIMO Los jugadores maximizan la utilidad conjunta Período 2 Los jugadores deciden la cantidad a consumir de la cantidad a su disposición y- (c1 + c2). Puesto que no hay más períodos consumirán tanto como sea posible. La cantidad total se divide entre ellos y cada uno tiene (y - (c1 + c2)) / 2 Periodo 1 Los dos jugadores deciden cuánto consumir cada uno por el "bien común“ (su consumo determina también el tamaño de los recursos que quedan para el segundo periodo). La utilidad depende de la cantidad total que decidan consumir y un patrón de consumo, (c1*, c2*), es socialmente óptimo si se maximiza la suma de la utilidad de los dos jugadores, es decir, si se soluciona el problema siguiente: Este procedimiento conduce a una solución socialmente óptima C1*= C2 *=y/4 En el primer período cada jugador consume y/4, dejando y/2 para el segundo período, En el segundo período esta cantidad se divide por la mitad con un consumo de y/4 cada uno. La utilidad para cada jugador es 2log (y /4)=2log (y) –log 16

Comparación del equilibrio de Nash con el uso socialmente óptimo Equilibrio de Nash dos terceras partes de los recursos se utilizan en el primer período. Uso socialmente óptimo la mitad del recurso se utiliza en el primer período Tragedia de los comunes Exceso de extracción del recurso en el equilibrio de Nash Criterio individual (utilidad propia) Si el jugador 1 recorta su consumo en el primer periodo en una unidad, hace que haya una unidad disponible para el consumo de ambos jugadores en el segundo período. El jugador sólo es capaz de recuperar la mitad de esta unidad adicional en el segundo período, ya que la otra mitad queda para el jugador 2. Criterio social (utilidades de ambos jugadores) Una unidad de consumo dejada para mañana por cualquiera de los jugadores sigue siendo en el segundo periodo una unidad de consumo para la sociedad en su conjunto. Problema en grandes poblaciones Sea N el número de jugadores y c1,…,cN sus consumos. En el equilibrio de Nash Cada jugador consume c1* = c2* =... = cN* =y/ (N +1). El consumo total es Ny/(N +1). La cantidad que queda después del primer período es y/(N +1). Si N es grande una pequeña cantidad del recurso alcanza el segundo periodo En el uso socialmente óptimo El consumo que maximiza la utilidad conjunta es c1= c2=... = cn = y/2N El consumo total es y/2 La cantidad que queda después del primer período es y/2 Independientemente de N la mitad del recurso alcanza el segundo periodo A medida que el número de jugadores aumenta la tragedia es aún más grave.

Ejercicio 11 Considere la siguiente variante del modelo en la que en el primer período el jugador 1 extrae una cantidad c1 y el jugador 2 una cantidad c2. Lo que no se extrae, es decir, la cantidad y-c1 - c2, se regenera y se convierte en una cantidad igual a y− c1 − c2 en el periodo 2. Con el fin de que la cantidad de recurso crezca y sea mayor que la cantidad sobrante y-c1-c2, suponemos y ≤ 1 (esto es una convención, si la cantidad máxima real es 100 multiplicamos la función de regeneración por √ 100). El resto del modelo es idéntico, en particular, la función de utilidad es log c y la regla de asignación si el total deseado es más de lo disponible sigue siendo dar la mitad a cada uno. Plantear el problema de mejor respuesta del jugador 1. Demostrar que la función de mejor respuesta viene dada por R1 (c2) = 2 (y-c2)/ 3. Calcular el equilibrio de Nash. Demostrar que la extracción socialmente óptima es y/3 para cada jugador. ¿En qué se diferencia del modelo de recurso agotable en el que la extracción socialmente óptima es y/4 para cada jugador? Analizar el problema de los recursos renovables para N jugadores. ¿Es cierto que todos los recursos se extrae en el primer período si N tiende a infinito?

Interacción continua y recursos renovables El consumo del jugador i en el período t es ci (t) , con ci(t) ≥ 0 . El consumo da a los jugadores una utilidad log(ci(t)) El entorno del juego en el período t es el tamaño de los recursos, y(t), con y (t) ≥ 0 . El valor de y(t) limita el consumo total c1(t) +c2(t) ≤ y (t) . La base de inversión que genera el recurso futuro, x(t), es la cantidad no extraída x(t) =y(t )-(c1(t)+c2(t))≥ 0. La inversión produce el recurso del próximo período (función de producción) y(t +1)=10 x(t) El juego continúa siempre y cuando exista un nivel de recursos positivos y, por tanto, potencialmente, puede continuar para siempre.

Solución socialmente óptima Maximizamos la suma de las utilidades de los dos jugadores (inducción hacia atrás) Supongamos que sólo queda un periodo En el último periodo si el stock es y tenemos que resolver max 𝑐1+𝑐2≤𝑦 log 𝑐1 + log 𝑐2 En este último periodo nunca queda ningún stock sin uso, es decir, c1 + c2 = y. Por lo tanto el problema de maximización puede reescribirse como max 𝑐1 log 𝑐1 + log 𝑦−𝑐1 Con solución c1 = c2 = y/2. En consecuencia, la utilidad social óptima de cada jugador cuando sólo queda una etapa corresponde al stock disponible y está dada por 𝑉 1 𝑦 = log 𝑦 2 = log 𝑦 − log 2 = log 𝑦 +𝐴(1) donde A (1) es una abreviatura para la constante.

Supongamos que quedan dos períodos la extracción social óptima se encuentra al resolver el siguiente problema: max 𝑐1+𝑐2≤𝑦 log 𝑐1 + log 𝑐2 +2𝛿 𝑉 1 10 𝑦−𝑐1−𝑐2 donde la utilidad del segundo periodo se descuenta un periodo con el factor de descuento δ. Después de algunos cálculos, podemos reescribir el problema un poco más simple como max 𝑐1+𝑐2≤𝑦 log 𝑐1 + log 𝑐2 +𝛿 log 𝑦−𝑐1−𝑐2 donde hemos suprimido las constantes aditivas. Las condiciones de primer orden hacen que el consumo sea c1 = c2 = y / (2 + δ). La utilidad social óptima por jugador cuando quedan dos etapas depende del stock disponible y viene dada por V 2 y = log y 2+δ +δ V 1 10 y− y 2+δ − y 2+δ Que puede escribirse como V 2 y = 1+ δ 2 log y +A(2)

Supongamos que quedan tres períodos de uso de recursos. En el primer período tenemos que resolver el siguiente problema: max 𝑐1+𝑐2≤𝑦 log 𝑐1 + log 𝑐2 +2𝛿 𝑉 2 10 𝑦−𝑐1−𝑐2 Después de sustituir V2 y suprimir todas las constantes irrelevantes, podemos reescribirlo max 𝑐1+𝑐2≤𝑦 log 𝑐1 + log 𝑐2 +𝛿 1+ 𝛿 2 log 𝑦−𝑐1−𝑐2 El consumo social óptimo es c1=c2=y/2 1+ δ 2 + δ 2 4 La utilidad social óptima per cápita es de la forma V 3 y = 1+ δ 2 + δ 2 4 log y +A(3) En esta etapa podemos ver un patrón y hacer una conjetura Cuando el número de períodos restantes es T, el consumo social óptimo es c1=c2= 𝑦 2 1+ δ 2 + δ 2 4 +…+ δ 2 T−1

100δ / 2 (punto fijo de la ecuación) En el modelo de infinitos períodos en cada etapa hay exactamente el mismo número de períodos restantes y la fracción de consumo de cada etapa es idéntica. El consumo viene dada por el límite del consumo óptimo cuando T tiende a infinito. c y = 𝑦 2 1+ δ 2 + δ 2 4 +…+ δ 2 T−1 +… = 𝑦 2 1 1− δ 2 = 1− δ 2 𝑦 2 La función de inversión es x(t)=y(t)−2c y t = δ 2 y(t). Por lo tanto, la fracción de la inversión óptima asociada es δ / 2 La utilidad socialmente óptima, por extrapolación, viene dada por V y = 1+ δ 2 + δ 2 4 +… log y +A Obsérvese que y(t+1)=10 𝑥(𝑡) =10 δ 2 𝑦(𝑡) El stock de recurso sostenible socialmente óptimo es 100δ / 2 (punto fijo de la ecuación)

Extracción unilateral del recurso (cada jugador considera sólo su propia utilidad) En cada periodo los jugadores van a consumir una fracción del recurso c1= θ1y, c2 = θ2y Supongamos que estamos en el último período El stock se divide a partes iguales entre los dos. El consumo de equilibrio de cada jugador es c1 = c2 = y/2. La utilidad del consumo de equilibrio para el jugador 1 cuando sólo queda un periodo es 𝑊 1 𝑦 = log 𝑦 2 = log 𝑦+𝐵(1) Supongamos que quedan dos períodos. La utilidad para el jugador uno es log 𝑐1 +𝛿 W 1 (10 y− 𝑐 1 − 𝑐 2 ) El jugador 1 se enfrenta al siguiente problema de mejor respuesta max 𝜃1 log 𝜃 1 𝑦 +𝛿 𝑊 1 10 𝑦− 𝜃 1 𝑦− 𝜃 2 𝑦 Este problema puede ser escrito de forma equivalente como max 𝜃1 log 𝜃 1 + 𝛿 2 log (1− 𝜃 1 − 𝜃 2 )

Supongamos que quedan dos períodos. El jugador 1 se enfrenta al siguiente problema de mejor respuesta que puede ser escrito de forma equivalente como max 𝜃1 log 𝜃 1 + 𝛿 2 log (1− 𝜃 1 − 𝜃 2 ) Se puede demostrar que la mejor respuesta de consumo es 𝜃 1 =𝑏 𝜃 2 = 1− 𝜃 2 1+ 𝛿 2 En equilibrio, θ 1 =b θ 2 y θ 2 =b θ 1 Cada jugador consume con la misma tasa de extracción (equilibrio simétrico) θ 1 = θ 2 = 1 2+ δ 2 Supongamos que quedan T períodos Se puede demostrar que la tasa de extracción de equilibrio es 𝜃 1 = 𝜃 2 = 1 2+ 𝛿 2 +…+ 𝛿 2 T−1

100δ 4−δ (punto fijo de la ecuación) En el modelo con infinitos períodos, La función de consumo de equilibrio, c* (y) = θy, vendrá dada por el límite del consumo de equilibrio cuando T tiende a infinito c ∗ y = 1 2+ 𝛿 2 +…+ 𝛿 2 T−1 +… y= 1− 𝛿 2 2− 𝛿 2 y La base de inversión es x t =y−2 c ∗ y = δ 4−δ y. Obsérvese y(t+1)=10 𝑥(𝑡) =10 δ 4−δ 𝑦(𝑡) el stock del recurso sostenible en equilibrio es 100δ 4−δ (punto fijo de la ecuación)

Comparación del óptimo social y los resultados del equilibrio Consideremos dos sociedades distintas, una en la que se gestiona el consumo socialmente y otra en la que se determina de manera unilateral. La función de consumo socialmente óptima c (y) es siempre menor que la función de consumo en equilibrio (dando cada individuo su mejor respuesta) c*(y) c t = 1− δ 2 2 𝑦< 1− 𝛿 2 2− 𝛿 2 y =c ∗ y Imaginemos que ambas sociedades comienzan con el mismo stock En el período 2, la primera sociedad tendría un stock más grande, ya que invirtió más en el primer período. Este aumento implica a su vez que esta sociedad vuelve a invertir más en el periodo 2. La primera sociedad invierte una fracción más grande de cualquier stock. La primera sociedad cuenta con un stock de recursos más grande disponible. El stock sostenible, y (t +1) = y (t), es más alto en el primer caso que en el segundo. En el primer caso el stock sostenible es y = 100δ/2 En el segundo caso el stock sostenible es y* = 100δ / (4-δ)

Conclusiones En el juego con horizonte infinito cada jugador decide cuánto consumir sólo mirando el tamaño del recurso actual (estrategia markoviana) no requiere que el jugador tenga información de lo que ha hecho su rival en el pasado o de cómo el recurso ha evolucionado en períodos anteriores. Un equilibrio perfecto en subjuegos mediante estrategias markovianas recibe el nombre de equilibrio perfecto de Markov (MPE). Si el número de entornos es finito siempre existe un MPE. Si el número de entornos es infinito no podemos garantizar que exista un MPE La conclusión final sobre este equilibrio es que está siempre por debajo de la solución socialmente óptima. Se extrae demasiado recurso y las utilidades de equilibrio son más bajas que las utilidades socialmente óptimas. Usando estrategias del disparador a veces se puede remediar este problema. Si los jugadores creen que en el futuro el buen comportamiento será recompensado y el mal comportamiento castigado son propensos a cooperar.

Master en Economía y Desarrollo Matemáticas II Teoría de juegos y oligopolio Fundamentos III Jesús Muñoz San Miguel