TEMA 3.10. CIRCUITOS RC EN SERIE. Anteriormente se estudió el capacitor como un dispositivo electrostático capaz de almacenar carga.

El proceso de cargar y descargar capacitores en un circuito de corriente alterna proporciona un medio efectivo para regular y controlar el flujo de carga. Sin embargo antes de analizar los efectos de la capacitancia en un circuito de c. a., será de utilidad describir el crecimiento y decaimiento de la carga en un capacitor. Considere el circuito ilustrado en la figura siguiente, que contiene sólo un capacitor y un resistor (circuito RC).

Cuando el interruptor se mueve a S1, el capacitor empieza a descargarse rápidamente mediante la corriente I. Sin embargo, a medida que aumenta la diferencia de potencial Q/C entre las placas del capacitor, la rapidez del flujo de carga al capacitor disminuye. En cualquier instante, la caída de potencial IR a través del resistor debe ser igual que la diferencia de potencial entre el voltaje VB de las terminales de la batería y la fuerza contraelectromotriz del capacitor. Simbólicamente.

Diagrama que muestra el método para cargar y descargar un capacitor. + C -

VB – Q = IR (1) C Donde I = corriente instantánea Q = carga instantánea del capacitor. Inicialmente, la carga Q es cero, y la corriente I es máxima. Por lo tanto, en el tiempo t = 0. Q = 0 e i = VB (2) R

A medida que se incrementa la carga en el capacitor, se produce una fuerza contraelectromotriz Q/C que se opone al flujo adicional de carga y la corriente i disminuye. Tanto el incremento en la carga como la disminución de la corriente son funciones exponenciales, como se aprecian en las figuras siguientes. Si fuera posible continuar el proceso de carga indefinidamente, los límites en t = ∞ serían Q = CVB e i = 0. (3).

Q Q max = CVB Q max 0.63 Q max RC 2 RC 3 RC 4 RC 5 RC tiempo La carga de un capacitor aumenta y se aproxima a su valor máximo Pero nunca alcanza éste.

i i max 0.37 i max RC 2 RC 3 RC 4 RC 5 RC tiempo La corriente disminuye aproximándose a cero mientras la carga Aumenta hasta su valor máximo.

Y la corriente instantánea se obtiene por medio de: Los métodos de cálculo aplicados a la ecuación 1, muestran que la carga instantánea es: Q = CVB (1-e-t/RC) (4). Y la corriente instantánea se obtiene por medio de: i = VB e-t/RC (5) R Donde t es el tiempo. La constante logarítmica e = 2.71828 hasta la sexta cifra significativa. La sustitución de t = 0 y t = ∞ en las ecuaciones anteriores nos conduce a las ecuaciones 2 y 3 respectivamente.

Las ecuaciones para calcular la carga y la corriente instantáneas se simplifican en el instante particular en que t = RC. Este tiempo, generalmente representado por τ, se llama constante de tiempo del circuito. τ = RC constante de tiempo (6).

Analizando la ecuación 4 vemos que la carga Q eleva en 1 -1/e veces su valor final en una constante de tiempo: Q = CVB (1-1/e) = 0.63 CVB. (7) En un circuito capacitivo, la carga en un capacitor se elevará al 63 por ciento de su valor máximo después de cargarse por un periodo de una constante de tiempo.

Al sustituir τ = RC en la ecuación 5 se demuestra que la corriente suministrada al capacitor disminuye 1/e veces su valor inicial en una constante de tiempo: i = VB 1/e =0.37 VB R R En un circuito capacitivo, la corriente suministrada a un capacitor disminuirá 37 por ciento de su valor inicial después de cargarse por un periodo de una constante de tiempo.

Consideremos ahora el problema de descargar un capacitor Consideremos ahora el problema de descargar un capacitor. Por razones prácticas, un capacitor se considera totalmente cargado después de un periodo de tiempo igual a cinco veces la constante de tiempo (5 RC). Si el interruptor de la figura 1 ha permanecido en la posición S1 durante este lapso de tiempo, por lo menos, se puede suponer que el capacitor ha quedado cargado al máximo CVB.

Si se mueve el interruptor a la posición S2, la fuente de voltaje queda desconectada del circuito y se dispone de un camino o trayectoria para la descarga. En este caso, el voltaje de la ecuación 1 se reduce a: - Q/C = iR (9). Tanto la carga como la corriente decaen siguiendo curvas similares a las mostradas para la corriente de carga en la figura 3. La carga instantánea de determina mediante la siguiente ecuación: Q = CVB e-t/RC. (10)

Y la corriente instantánea se obtiene por: i = - VB e-t/RC. (11). R El signo negativo en la ecuación de la corriente indica que la dirección de i en el circuito se ha invertido. Después de descargar el capacitor durante una constante de tiempo, la carga y la corriente habrán decaído en 1/e veces sus valores iniciales. Esto puede demostrarse sustituyendo τ en las ecuaciones 10 y 11.

En un circuito capacitivo, la carga y la corriente descenderán al 37% de sus valores iniciales después de que el capacitor ha sido descargado durante un lapso igual a una constante de tiempo. El capacitor se considera totalmente descargado después de un lapso de cinco veces la constante de tiempo ( 5 RC).

Problemas de circuitos RC. 1.- Una batería de 12 V que tiene una resistencia interna de 1.5 Ω se conecta a un capacitor de 4 μF por medio de conductores que tienen una resistencia de 0.5 Ω. (a) ¿cuál es la corriente inicial suministrada al capacitor?. (b) ¿Cuánto tiempo se necesita para cargar totalmente al capacitor? (c) ¿Qué valor tiene la corriente después de una constante de tiempo?

Solución (a). Inicialmente el capacitor no produce una fuerza contraelectromotriz. Por consiguiente, la corriente suministrada al circuito es igual a la fem de la batería dividida entre la resistencia total de dicho circuito: i = εB = 12 V______ = 6 Amperes. R + r 1.5 Ω + 0.5 Ω Solución (b) El capacitor se puede considerar totalmente cargado después de un tiempo t = 5 RC = (5) (2 Ω) (4 x 10-6 F) = 40 x 10-6 seg. Solución (c) . Después de una constante de tiempo RC, la corriente habrá decaído 37% de su valor inicial. Por lo tanto: i τ = (0.37 x 6 A) = 2.22 Amperes.

2.- Un circuito de corriente continua en serie consiste en un capacitor de 4 μF, un resistor de 5000 Ω y una batería de 12 V. ¿Cuál es la constante de tiempo para este circuito? τ = RC = 5000 Ω x 4 x 10 -6 F = 0.02 seg.

3.- En el circuito descrito en el problema anterior, ¿cuáles son la corriente inicial y la corriente final? ¿Cuánto tiempo se necesita para asegurarse de que el capacitor esté totalmente cargado? i = VB e-t/RC. R i = 12 V (2.71828)-0.02 seg. =2.35 x 10-3 A 5000 Ω 2.35 mA i = 0. 5 RC = 5 x 0.02 seg = 0.1 seg.

4.- ¿Cuál es la constante de tiempo para un circuito de corriente continua en serie que contiene un capacitor de 6 μF y un resistor de 400 Ω conectado a una batería de 20 V? ¿cuál es la carga máxima para el capacitor? ¿cuánto tiempo se requiere para cargar por completo dicho capacitor? Solución a) τ = RC = 400 Ω x 6 x 10-6 F = τ = 2.4 x 10-3 seg. b) Q = CVB (1-e-t/RC) = 6 x 10-6 F x 20 V (1 – 2.71828) -2.4 x 10-3 seg. = 2.86 x 10-7 Coulombs. 5 RC = 5 x 2.4 x 10-3 seg = 0.012 seg.

5.- Un capacitor de 8 μF está conectado en serie con un resistor de 600 Ω y una batería de 24 V. Después de un lapso igual a una constante de tiempo, ¿Cuáles son la carga en el capacitor y la corriente en el circuito? τ = RC = 600 Ω x 8 x 10-6 F = 4.8 x 10-3 seg Q = CVB (1-e-t/RC) = 8 x 10-6 F x 24 V (1- 2.71828- 4.8 x 10-3 seg) = 9.177 x 10-7 Coulombs. i = VB e-t/RC. R i = 12 V (2.71828 – 4.8 x 10-3 seg) = 0.0199 Ampere 600 Ω 19.9 mA

6.- Suponga que el capacitor del problema anterior estaba totalmente cargado y ahora está en proceso de descarga. Después de una constante de tiempo, ¿Cuáles son la corriente del circuito y la carga del capacitor? Q = CVB (e-t/RC) Q = 8 x 10-6 F x 24 V (2.71828 – 4.8 x 10-3 seg) . = 1.91 X 10-4 coulombs. i = -VB e-t/RC. R i = - 24 V (2.71828 – 4.8 x 10-3 seg)= - 0.039 A. 600 Ω