Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE + ECUACIONES (PARABOLA, CIRCUNFERENCIA, ELIPSE E HIPERBOLA) GEOMETRIA BASICA: + PENDIENTE (Concepto, interpretaciones y otros) + ECUACION DE LA RECTA (RECTA PUNTO PENDIENTE)

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE PENDIENTE ¿ QUE ES LA PENDIENTE? ES CLARO QUE EL CONCEPTO DE PENDIENTE LO HEMOS APLICADO MUCHAS VECES EN NUESTRA VIDA COTIDEANA: ¿HAS ESCALADO ALGUN CERRO O MONTAÑA? ¿HAS VIAJADO CONDUCIENDO O NO EN AUTOMOVILO BUS? ¿HAS SUBIDO ESCALERAS?

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE PRE-CONCEPTOS ¿Sabes lo que es el plano cartesiano? ¿Sabes graficar en el plano cartesiano? Trata de Graficar los siguientes puntos: a) (3,4) b) (-2,4) c(3,-5) d(-3,3) a) (-2,1) b) (-2,-4) c(1,-5) d(2,1) a) (0,4) b) (-2,0) c(0,-5) d(0,-3) a) (0,-3) b) (-1,1) c(0,0) d(-5,0)

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE PENDIENTE En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos. PENDIENTE

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe: PENDIENTE

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Dados dos puntos (x 1,y 1 ) y (x 2,y 2 ), la diferencia en ΔX es x 2 − x 1, mientras que el cambio en ΔY se calcula como y 2 − y 1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos: (El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia.)

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "suba hacia la izquierda", tiene pendiente = - 1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente es infinita. GEOMETRIA DE LA PENDIENTE

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación: GEOMETRIA DE LA PENDIENTE Tag θ = = C. O. C.A. b a a b c θ

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita). L2L2 L1L1 L L2L2 L1L

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE GEOMETRIA y ALGEBRA DE LA PENDIENTE

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE EJERCICIOS ¿Grafique las rectas que unen los puntos siguientes Obtenga las pendientes de las rectas Determine las rectas que son paralelas (usar todos los ejercicios) a) (3,4) b) (-2,4) c(3,-5) d(-3,3) a) (-2,1) b) (-2,-4) c(1,-5) d(2,1) a) (0,4) b) (-2,0) c(0,-5) d(0,-3) a) (0,-3) b) (-1,1) c(0,0) d(-5,0)

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. Elige dos de esos métodos y realiza algunas las estimaciones que el profesor te indique.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Para una misma hora la razón entre la longitud de un objeto y de su sombra es la misma.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Tómese sobre la recta los puntos P 1 (x 1, y 1 ),P 2 (x 2, y 2 ) y P 3 (x 3, y 3 ). Al proyectar los puntos P 1, P 2 y P 3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’ 1, P’ 2, P’ 3.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1) Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE 1.-Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). 2.-Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) EJERCICIOS CON PENDIENTE Y PUNTO PENDIENTE 3.-Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar: a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l. b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l. EJERCICIOS CON CONCEPTOS

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE PARABOLA La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana cuya relación a un sistema de coordenadas ortonormales es:

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Ecuación canónica La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas. Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje y, la ecuación de la parábola es: Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es:

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Siendo p la distancia del vértice V al foco F. La distancia denominada parámetro de la directriz es 2p y su valor coincide con el de la ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h )

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Cuando una parábola con eje paralelo al eje x tiene su vértice en (h,k) (entiendase, cualquier punto del plano), la ecuación se convierte en: Cuando una parábola con eje paralelo al eje y tiene su vértice en (h,k), la ecuación se convierte en: El parámetro p puede ser negativo, por lo que la parábola vertical abrirá hacia abajo o hacia la izquierda en caso de ser horizontal. Ecuación Ordinaria

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE El Circulo Es la figura plana formada por la circunferencia y su región interior La Circunferencia Es una línea curva cerrada donde todos los puntos están a igual distancia de un punto llamado centro CIRCULO = CIRCUNFERENCIA

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE En matemáticas, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano (geometría) equidistantes a una distancia determinada denominada radio (geometría) de otro fijo, llamado centro. Se distingue del círculo en que este último es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada. En otras palabras, la circunferencia sería el perímetro de esta figura geométrica, y el círculo sería la superficie que describe. CIRCUNFERENCIA

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE CIRCUNFERENCIA En geometría analítica, la ecuación -en coordenadas cartesianas- de una circunferencia centrada en el punto (h, k) y de radio r, es: Desarrollando la ecuación, se tiene:

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Existen al menos tres maneras equivalentes de definir las elipses: Definición 1: curva cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, que resulta de cortar la superficie de un cono de revolución (sección cónica) por un plano oblicuo y que corta todas sus generatrices. ELIPSE

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Definición 2: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F y F' dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia FF'. Un punto M pertenece a la elipse de focos F y F' si: donde “a” es el semieje mayor de la elipse.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Definición 3: en un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE La ecuación de una elipse centrada en coordenadas cartesianas es simplemente:

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Ecuación con centro (0,0) Una hipérbola es un tipo de sección cónica. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y menor que la distancia entre los focos. HIPERBOLA

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE ConicEccentricity Circlee = 0 Ellipse0 < e < 1 Parabolae = 1 Hyperbolae > 1 e = c/a.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Relaciones y Funciones El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Correspondencia La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de Relación – Función. En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos tenido experiencia con correspondencias o RELACIONES.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio. A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números. A cada número le corresponde una segunda potencia. A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Ejemplos de Correspondencia (Relaciones – Funciones)

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Definición de Relación y de Función Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango. Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido. (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función Esta afirmación la podemos ilustrar mediante la siguiente animación ¿Por qué se produjo el error?

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones. ¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano

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Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE 1er GRADO 2do GRADO X positiva (ax+b) X positiva (ax 2 +b) X negativa (ax-b) X negativa (ax 2 -b) X positiva (1/ax+b) X negativa (1/ax-b) X positiva (1/ax 2 +b) X negativa (1/ax 2 -b) B Positiva (√ax+b) B Positiva (√ax 2 +b) B negativa(√ax 2 -b)

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE 1er GRADO 2do GRADO X positiva (|ax+b|) X positiva (|ax 2 +b|) X negativa (|ax-b|) X negativa (|ax 2 -b|) X positiva (|1/ax+b|) X negativa (|1/ax-b|) X positiva (|1/ax 2 +b|) X negativa (|1/ax 2 -b|) B Positiva (|√ax+b|) B Positiva (|√ax 2 +b) B negativa(|√ax 2 -b|)

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE En el conjunto A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} definimos las siguientes relaciones: P = { (0,-1); (2,0); (-1,2); (1,2) } Q = {(1,1); (1,-1); (4,2); (4,-2); (3,3) } R = {(-2,2); (-1,1); (0,0); (1,-1); (2,-2); (3,0); (4,0) } De estas relaciones. ¿Cuáles son funciones?. Determine dominio y recorrido de ellas. EJERCICIOS

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE Determine dominio y recorrido de: b) h(x) = a) p(x) =

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE LIMITES LIMITE EN UN PUNTO. A1) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por (Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio, podemos encontrar un entorno de a de radio, que depende de, de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE LIMITES A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE LIMITES PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. ) siempre que no aparezca la indeterminación. con. siempre y cuando no aparezca la indeterminación.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE LIMITES siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e. con siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE LIMITES siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE CONTINUIDAD Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si: a) Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a. b) Existe el c) Ambos valores coinciden, es decir.

Sede SantiagoPadre Miguel de Olivares 1625, Santiago Centro Prof. Marco A. Vildoso F. INGENIERIA EN PREVENCION DE RIESGOS Y MEDIO AMBIENTE CONTINUIDAD Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que: es continua en x=a. es continua en x=a si. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).