2/23/2019 TRAZADOR CUBICO SPLINE

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TRAZADOR CÚBICO. SPLINE Estudiaremos ahora la aproximación por polinomios segmentados que no requieran información sobre la derivada de la función salvo en los extremos del intervalo donde se aproxima la función. El tipo mas simple de polinomio segmentado diferenciable en un intervalo entre es un polinomio de grado dos que interpole cada par de nodos consecutivos. Dado que un polinomio de grado 2 tiene tres constantes para determinar y solo se conocen dos condiciones para ajustar los datos en los extremos del intervalo, de modo que la interpolante tenga derivada continua en , esto implica que no hay datos suficientes para determinar una única función cuadrática que satisfaga lo pedido. 2/23/2019

Dada una función 𝑓 definida en [𝑎,𝑏] y un conjunto de nodos La aproximación polinómica fragmentaria mas común, es la que involucra polinomios cúbicos entre cada par de nodos consecutivos y recibe el nombre de trazadores cúbicos o SPLINE CÚBICA. La construcción del trazador cúbico no supone que las derivadas del interpolante concuerden con las de la función ni siquiera en los nodos. Definición: Dada una función 𝑓 definida en [𝑎,𝑏] y un conjunto de nodos Un trazador cúbico S para 𝑓 es una función que cumple con las siguientes condiciones: 2/23/2019

𝑎. 𝑆 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑆 𝑗 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎. 𝑆 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑆 𝑗 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑥 𝑗 , 𝑥 𝑗+1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑗=0,1,….,𝑛−1 Que gráficamente se vería así: 2/23/2019

2/23/2019 Un Spline natural no impone ninguna condición para la dirección en sus puntos inicial y fina, por lo que la curva toma la forma de una línea recta después que pasa a través de los puntos próximos a los extremos. Su nombre deriva del hecho de que esta es la forma natural de un sistema flexible al que se le obliga a interpolar en ciertos puntos si adicionar mas limitaciones. Como se muestra en la figura:

Construir una spline cúbica que pase por los puntos 1,2 , 2,3 𝑦 3,5 Ejemplo Construir una spline cúbica que pase por los puntos 1,2 , 2,3 𝑦 3,5 Para eso definimos: 𝑥∈ 1,2 𝑥∈ 2,3 Debemos determinar 8 constantes y para eso necesitamos 8 ecuaciones, para eso sabemos que la función coincide con la spline en cada nodo así obtenemos: 2/23/2019

Dos ecuaciones mas provienen del hecho de que: 𝑆 ′ 2 = 𝑆 1 ′ 2 𝑆 ′ 2 = 𝑆 1 ′ 2 𝑦 𝑆 ′′ 2 = 𝑆 1 ′′ 2 Tenemos entonces: La condición de Spline natural impone las últimas dos condiciones: Resolviendo el sistema obtenemos: 2/23/2019

Construcción de la Spline cúbica Para construir la Spline cúbica procederemos como sigue: Definimos Para cada j=0,…n-1 Está claro que: Si aplicamos la condición c. tenemos: (1) Para simplificar la expresión llamaremos: 2/23/2019

Aplicando la condición d. obtenemos: (2) Al definir Entonces tenemos: Además tenemos: Por lo tanto Aplicando la condición d. obtenemos: (2) Al definir Y aplicar la condición e. se obtiene otra relación entre los coeficientes de 2/23/2019

Despejando de (4) y haciendo una reducción del orden obtenemos: Obteniendo: (3) Al despejar de la ecuación (3) y sustituir este valor en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos: (4) Y (5) Despejando de (4) y haciendo una reducción del orden obtenemos: 2/23/2019

Este sistema contiene sólo los como incógnitas, ya que los valores de 2/23/2019 Cuando sustituimos estos valores en la ecuación (5) con el índice reducido en 1 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: Este sistema contiene sólo los como incógnitas, ya que los valores de son conocidos, los h son el espaciado entre los nodos y los a son los valores de la función en los nodos.

En este caso las condiciones de frontera significan que: y Entonces Teorema Si definimos f en entonces f tendrá una única Spline cúbica que cumpla con las condiciones de frontera: Demostración: En este caso las condiciones de frontera significan que: y Entonces Las ecuaciones junto con las ecuaciones del sistema (6) producen un sistema lineal 𝐴𝑥=𝑏 donde 𝐴 es la matriz (n+1)x(n+1) 2/23/2019

Y donde los vectores 𝑏 y 𝑐 son 2/23/2019 Y donde los vectores 𝑏 y 𝑐 son

LUEGO EL TRAZADOR ES UNICO. Ejemplos: LA MATRIZ A ES ESTRICTAMENTE DIAGONAL DOMINANTE, Y POR LO TANTO EL SISTEMA LINEAL TIENE SOLUCIÓN ÚNICA!!!! LUEGO EL TRAZADOR ES UNICO. Ejemplos: Dada 𝒇 𝒙 = 𝒆 𝒙 𝒖𝒔𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒏𝒐𝒅𝒐𝒔 𝟎,𝟏 , 𝟏,𝒆 , 𝟐, 𝒆 𝟐 , 𝒚 𝟑, 𝒆 𝟑 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝑺𝒑𝒍𝒊𝒏𝒆 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒆 𝒂 la función. Observar que: 2/23/2019

El sistema es entonces: 2/23/2019

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Lo que da por resultado: 2/23/2019

2) Con lo hecho anteriormente aproxime la integral de 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒𝑛 0,3 FIN 2/23/2019