SISTEMAS LINEALES Factorización de matrices Descomposición LU. 2/23/2019 2/23/2019 SISTEMAS LINEALES 1 Factorización de matrices Descomposición LU. Descomposición de Cholesky

El objetivo es resolver sistemas de la forma Ax=b. Para ello tenemos: SISTEMAS LINEALES El objetivo es resolver sistemas de la forma Ax=b. Para ello tenemos: 1- MÉTODOS DIRECTOS Estos métodos se basan en la factorización de la matriz A para convertir el sistema lineal dado en un sistema con un formato de resolución simple, por ejemplo triangular . Existen diferentes métodos de factorización de una matriz, entre los más habituales se encuentran la factorización LU, la factorización QR, la factorización de Cholesky, etc. 2- MÉTODOS ITERATIVOS Son técnicas que tratan de encontrar la solución de un sistema mediante sucesivas aproximaciones. Existen dos tipos de métodos iterativos: los métodos estacionarios, fáciles de entender e implementar pero con baja eficiencia, y los métodos no estacionarios, más complejos pero altamente eficientes. La velocidad a la que convergen estos métodos iterativos va a depender de la estructura de la matriz. Para que la convergencia sea más rápida se realizan una serie de transformaciones sobre dicha matriz, obteniéndose la denominada matriz precondicionada. 2/23/2019

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Ejemplo a-Determinar la factorización LU de la matriz: b- Resolver el sistema A.x=b con: Paso 1 2/23/2019 2/23/2019 6

Paso 2 Paso 3 Paso 4 2/23/2019

Descomposición de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y definida positiva. Basta con tomar 𝑈= 𝐿 𝑡 y por lo tanto: 𝐴=𝐿 𝐿 𝑡 Propiedades: Es estable. Tiene un costo operacional del 𝑂 1 2 𝑛 2 No requiere comprobar previamente si la matriz es definida positiva. La aplicación del método lo deduce. 2/23/2019 2/23/2019 8

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Resolver el sistema Ax=b siendo: Ejemplo Resolver el sistema Ax=b siendo: 𝐴= 6 15 55 15 55 225 55 225 979 𝑦 𝑏= 100 150 100 Paso 1 Paso 2 𝐿 2 = 2.4495 0 0 6.1237 4.1833 0 22.4536 20.9167 𝑙 33 2/23/2019 2/23/2019 10

Paso 3 𝐿 3 = 2.4495 0 0 6.1237 4.1833 0 22.4536 20.9167 6.1096 Por lo tanto la solución es: 𝑥= 2.6729 36.7037 −8.4835 2/23/2019