ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Mediante las estrategias que se presentarán a continuación, se busca orientar al estudiante en cómo abordar los ejercicios y problemas matemáticos de una forma más eficaz y eficiente. En primer lugar, se abordará la categorización de los problemas, en segundo lugar se presentarán los pasos o episodios para resolver problemas matemáticos, luego se mostrarán las dificultades más comunes que se presentan al solucionar problemas matemáticos para culminar con las características que hacen expertos a los solucionadores de problemas. Esperamos que este material sea de utilidad y que con la puesta en práctica de forma continua de estas estrategias se puedan elevar los niveles de experticia en la solución de problemas matemáticos.

CATEGORIZACIÓN DE LOS PROBLEMAS Cuando se inicia en la resolución de los ejercicios de matemáticas es importante primero dar un vistazo a todos lo problemas para agruparlos con base a un criterio común. Esto facilitará el proceso de aprendizaje y en especial, el mejor funcionamiento de la memoria. Trabajar en forma continua con problemas similares permite realizar comparaciones y establecer relaciones que profundizan la comprensión y la huella de la memoria. A continuación veremos un ejemplo:

ASI SE NOS PRESENTAN LOS EJERCICIOS EN UN LIBRO DE CÁLCULO Tomado de: Swokowski, Earl. (1988) Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamericana, México, pg. 47.

6. f(x) = 7, g(x) = 4 f(x) = 2x2 + 5, g(x) = 4 – 7x ¿QUÉ LES PARECE SI LOS ORGANIZAMOS ASÍ Y LOS RESOLVEMOS POR BLOQUES, EMEPZANDO POR LOS MÁS FÁCILES A LOS MÁS DIFÍCILES? 6. f(x) = 7, g(x) = 4 9. f(x) =|x|, g(x) = – 5 13. f(x) = 2x – 3, g(x) = (x + 3)/2 f(x) = 2x2 + 5, g(x) = 4 – 7x 3. f (x) = x3, g(x) = x + 1 2. f(x) = 1/(3x + 1), g(x) = 2/x2 5. f(x) = 3x2 + 2, g(x) = 1/(3x2 + 2) 8. f(x) = 6x – 12, g(x) = 1/6x + 2 11. f(x) = x2, g(x) 1/x2 12, f(x) = 1/(x + 1), g(x) = x + 1 4. f(x) = √x2 + 4, g(x) = 7x2 + 1 7. f(x) = \/2x + 1, g(x) = x2 + 3 14. f(x) = x3 – 1, g(x) = x+1 10. f(x) = x2 + 1, g(x) = x3 + 1 ¿CUÁL FUE EL CRITERIO UTILIZADO PARA ORGANIZAR LOS EJERCICIOS?

PASOS O EPISODIOS PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PASO DE UN ESTADO INICIAL A OTRO FINAL A TRAVÉS DE OTROS ESTADOS INTERMEDIOS UTILIZANDO OPERADORES Y CONSIDERANDO RESTRICCIONES. (NEWELL Y SIMON,1972)

EPISODIOS AL SOLUCIONAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS Schoenfeld (1992) 1. ANALIZAR EL PROBLEMA. 2. LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO. 3. HACER UN PLAN. 4. REALIZAR EL PLAN. 5. CHEQUEAR LA RESPUESTA EN CONTRA DE LO QUE SE PIDE EN LA PREGUNTA.

1. ANALIZAR EL PROBLEMA. *Precisar la información dada. *Entender qué se pide resolver. *Precisar la incógnita. 2. LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO. *Relacionar datos entre sí y con la incógnita *Hacer un gráfico *Determinar lo que se necesita para resolver la incógnita. *Localizar el conocimiento matemático aplicable.

3. HACER UN PLAN. *Razonar cómo se va a abordar el Problema. *Generar la secuencia de acciones a seguir. 4. REALIZAR EL PLAN. 5. CHEQUEAR LA RESPUESTA EN CONTRA DE LO QUE SE PIDE EN LA PREGUNTA.

Resolver: │X – 3│ + │X – 5│ ≤ 4

PRIMER PASO: ANALIZAR EL PROBLEMA. Precisar la información dada: Se da una inecuación con dos valores absolutos. Entender qué se pide resolver: Obtener la resolución de la desigualdad. Precisar la incógnita: Se pide el conjunto solución de la desigualdad del tipo x є [a, b], por ejemplo.

SEGUNDO PASO: LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO. Relacionar datos entre sí y con la incógnita: La suma de esos dos valores absolutos debe ser menor o igual que 4. Hacer un gráfico: | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 Localizar el conocimiento matemático aplicable: Propiedades de campo de los números reales (conmutativa, asociativa, distributiva, elementos identidad, inversos). Propiedades de orden de los números reales (tricotomía, transitividad, suma, multiplicación). Propiedades de las desigualdades (clases de intervalos, resolución de desigualdades, puntos de separación, puntos de prueba, unión e intersección de conjuntos. Valor absoluto (definición). Propiedades del valor absoluto (multiplicación, división, etc.) Resolución de desigualdades con valor absoluto (casos | X | < a ó | X | > a)

TERCER PASO: HACER UN PLAN. Razonar cómo se va a abordar el problema. Tengo una desigualdad con valores absolutos. Es importante determinar los puntos de separación para así poderlos ubicar en la recta real. Con esta información, se divide la recta real en tres intervalos, que van a formar los casos para los cuales se van a obtener el conjunto solución. Una vez determinado los casos, procedo a trabajar con cada uno, viendo cómo se comporta la desigualdad dad en cada uno de ellos de acuerdo a los valores que le corresponden según el valor absoluto, para entonces proceder a resolver la desigualdad dentro de cada caso, en orden. Cada caso me va a dar como resultado un conjunto solución, los cuales voy a unir al final para obtener el conjunto solución definitivo de la inecuación.

TERCER PASO: HACER UN PLAN. Generar una secuencia de acciones a seguir. Plantear los casos para cada valor absoluto presente en la desigualdad. 2. Determinar los puntos de separación. 3. Determinar los intervalos a considerar según los puntos de separación. 4. Plantear los casos de la desigualdad para cada intervalo. 5. Resolver cada caso y determinar el conjunto solución 6. Intersectar las soluciones de cada uno de los casos. 7. Plantear el conjunto solución definitivo de la desigualdad.

CUARTO PASO: EJECUTAR EL PLAN Plantear los casos para cada valor absoluto presente en la desigualdad. x – 3, x ≥ 3 | x - 3 | - x + 3, x < 3 x – 5, x ≥ 5 | x - 5 | - x + 5, x < 5

2. Determinar los puntos de separación: Según los valores dados en los valores absolutos, serían 3 y 5. 3. Determinar los intervalos a considerar según los puntos de separación: ( - ∞, 3) [3, 5) [5, ∞) 4. Plantear los casos de la desigualdad para cada intervalo: Si x є ( - ∞, 3) Si x є [3, 5) Si x є [5, ∞)

5. Resolver cada caso y determinar el conjunto solución: a) Si x є ( - ∞, 3) x + 3 – x + 5 ≤ 4 2x + 8 ≤ 4 2x ≤ - 4 X ≥ 2 x є [2, ∞) ∩ ( - ∞, 3) = [2, 3) x є [2, 3)

5b) Si x є [3, 5) x - 3 – x + 5 ≤ 4 - 3 + 5 ≤ 4 2 ≤ 4 x є |R x є |R ∩ [3, 5) = [3, 5) x є [3, 5)

5c. Si X є [5, ∞) x - 3 + x - 5 ≤ 4 2x - 8 ≤ 4 2x ≤ 12 x ≤ 6 x є [5, ∞) ∩ (-∞, 6] = [5, 6] x є [5, 6]

6. Unir las soluciones de cada uno de los casos. x є [2, 3) U [3, 5) U [5, 6] 7. Plantear el conjunto solución definitivo de la desigualdad. x є [2, 6]

Halle la ecuación de la circunferencia Que pasa por (2,3) y (-1,1) y cuyo Centro está situado en la recta x – 3y – 11 = 0:

Primer paso: Analizar el problema *Precisar la información dada. *Entender qué se pide resolver. *Precisar la incógnita. Datos: A = (-1,1) B = (2,3) Recta: x – 3y – 11 = 0 Incógnita: r2 = (x – h)2 + (y - k)2

Segundo paso: Localizar el Conocimiento matemático apropiado. Representar el problema *relacionar datos entre sí y con La incógnita *Hacer un gráfico *Determinar lo que se necesita para Resolver la incógnita. *Localizar el conocimiento matemático Aplicable (mediatriz, teoría sobre rectas, Sistema lineal de ecuaciones, punto Medio, distancia entre puntos, ecuación De la circunferencia, entre otros.

Tercer paso: Hacer un plan *Razonar cómo se va a abordar el problema. En este caso, razono parecido a esto: Para obtener la ecuación de la circunferencia necesito el radio y el centro. Para obtener el centro necesito despejar de un sistema de ecuaciones lineales el punto de cruce entre las dos rectas que es el centro. Para obtener la otra recta, que es mediatriz, necesito el punto medio entre los puntos A y B. Luego calculo la recta que une a los puntos, seguidamente obtengo la pendiente de la mediatriz. El radio es la distancia de uno de los puntos al centro. *Generar la secuencia de acciones a seguir: 1) Calculo la ecuación de la recta que Une a los puntos. 2) Calculo el punto medio entre A y B. 3) Obtengo la pendiente de la mediatriz. 4) Resuelvo el sistema de ecuaciones y hallo el centro. 5) Calculo la distancia de un punto al centro y obtengo el radio. 6) Expreso los resultados como una ecuación de la circunferencia.

Cuarto paso: Ejecutar el plan 1) Calculo la ecuación de la recta que une a los puntos. 1) m = (y1-y2) / (x1-x2) = (3-1) / (2+1) = 2/3 y – 3 = 2/3 (x – 2) 2) PM AB = ((x1+x2) / 2) , (y1+y2) / 2 ) PM AB = ((2 + (-1)) / 2, (3 + 1) / 2)) PM AB = ( ½ , 2). 2) Calculo el punto medio entre A y B. 3) Obtengo la pendiente de la mediatriz. 3) m1 = -1/m m1 = - 3 / 2 4) Resuelvo el sistema de ecuaciones y hallo el centro. 4) x – 3y – 11 = 0 y – 2 =- 3 / 2 ( x – ½) x = 3y + 11 2y – 4 = - 3x + 3/2. 2y – 4 = - 3 (3y + 11) + 3/2 2y – 4 = -9y – 33 + 3/2 11y = - 29 + 3/2 11y = (-58 + 3) / 2 11y = - 55 / 2 y = - 55 / 22 y = -5 /2

Cuarto paso: Ejecutar el plan 4) Resuelvo el sistema de ecuaciones y hallo el centro. 4) x = 3 (- 5 / 2) + 11 = 7/2 Centro = (7/2 , - 5/2) 5) Calculo la distancia de un punto al centro y obtengo el radio. 5) r2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 A = ( -1, 1) r2 = (7/2 – (- 1))2 + (-5 / 2 – 2/2)2 r2 = (9/2)2 + (-7 / 2)2 r2 = 81/4 + 49/4 = 130/4 = 65/2 6) Expreso los resultados como una ecuación de la circunferencia. 6) (x – 7/2)2 + (y + 5/2)2 = 65 / 2

Quinto paso: Chequear la respuesta en contra de lo que se pide en la pregunta Me piden una ecuación de la circunferencia de la forma: r2 = (x – h)2 + (y - k)2 Donde los valores de r, h y k se obtengan a partir de los datos dados. Verifico cálculos.

EPISODIOS AL SOLUCIONAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS Schoenfeld (1992) 1. ANALIZAR EL PROBLEMA. 2. LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO. 3. HACER UN PLAN. 4. REALIZAR EL PLAN. 5. CHEQUEAR LA RESPUESTA EN CONTRA DE LO QUE SE PIDE EN LA PREGUNTA.

GENERALES DIFICULTADES PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS VERBALES FIJACIÓN FUNCIONAL SIN ESTRATEGIAS ANÁLISIS SUPERFICIAL GENERALES FALLA REPRESENTACIONAL NO PLANIFICA FALLAS DE CONOCIMIENTO DIFICULTADES PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS PROBLEMAS AFECTIVOS SOLO DATOS EXPLÍCITOS COMPRENSIÓN DE TEXTO Y RELACIONES VERBALES DESCUIDOS DEFECTOS EN ALGORITMO CÁLCULO OPERACIÓN EQUIVOCADA ERROR DE IDENTIFICACIÓN

CARACTERÍSTICAS DE LOS SOLUCIONADORES EXPERTOS 1. AMPLIOS CONOCIMIENTOS 2. CONOCIMIENTOS ORGANIZADOS 3. AMPLIA GAMA DE ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS, ALGORITMOS Y DIVERGENTES. 4. ANALIZAN LOS PROBLEMAS EN TODAS SUS PARTES. 5. PLANIFICAN ANTES DE EJECUTAR