DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MATEMATICAS-II 2º de BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Fco. Javier del Rey IES LÓPEZ-NEYRA (CÓRDOBA)

MATRICES (I) Definición de matriz.- Una matriz A de orden m x n es un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas. Se simboliza: Cada uno de los números que aparecen se llaman elementos de la matriz. Para localizarlos se le colocan subíndices que expresan la posición del elemento, fila y columna. En general: aij, fila i, columna j.

MATRICES (II) Se llama orden o dimensión de una matriz, al número de filas y número de columnas que tiene, se representa por m x n. Ejemplo: Como hemos dicho antes, cada uno de los números aij que forman la matriz, se llama elemento de la matriz, donde i es la fila y j la columna. Dos matrices A y B se dice que son iguales cuando coinciden elemento a elemento, es decir: a11=b11, a12=b12, … Una matriz se dice que es cuadrada cuando coinciden el número de filas y el número de columnas, es decir m=n. En estas matrices los términos a11, a22, a33, ... forman la denominada diagonal principal.

MATRICES (III) Tipos de matrices.- Según el criterio se pueden establecer varias clasificaciones: Atendiendo a la forma Matriz fila, solo tiene una fila. Matriz columna, solo tiene una columna. Matriz cuadrada, tiene el mismo número de filas que de columnas.  Matriz rectangular, el número de filas no coincide con el de columnas. Matriz simétrica, es toda matriz cuadrada donde aij=aji. Matriz antisimétrica, es toda matriz cuadrada donde aij=-aji .

Atendiendo a los elementos MATRICES (IV) Tipos de matrices.- Otra clasificación: Atendiendo a los elementos Matriz nula, todos los elementos son nulos. Matriz diagonal, es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no son de la diagonal principal son nulos. Matriz escalar, es toda matriz diagonal en la que todos sus elementos de la diagonal principal son iguales.  Matriz unidad o identidad, es toda matriz escalar en la que sus elementos de la diagonal principal es el uno. Matriz triangular, es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son cero.

OPERACIONES CON MATRICES (I).- MATRICES (V) OPERACIONES CON MATRICES (I).- Suma. Se llama suma de dos matrices A=(aij) y B=(bij) de orden m x n, a la matriz A+B = (aij + bij) de orden m x n cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de ambas matrices. Producto por un número. Se llama producto de un número real p por una matriz A=(aij) de orden m x n, a la matriz p A =(paij) de orden m x n, obtenida al multiplicar p por todos y cada uno de los elementos de la matriz A. Ejercicios: Pág. 36 el 1.

OPERACIONES CON MATRICES (II).- MATRICES (VI) OPERACIONES CON MATRICES (II).- Producto. Se llama producto de dos matrices A=(aij) y B=(bij) de órdenes m x n y n x q, respectivamente, a la matriz C=(cij) de orden m x q, donde cij se obtienen multiplicando cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B y sumando los productos obtenidos. Trasposición de matrices. Si en una matriz A de orden m x n se intercambian ordenadamente filas por columnas, se obtiene otra matriz de orden n x m llamada matriz traspuesta. (At ). Ejercicios: Pág. 39 el 2.

OPERACIONES CON MATRICES (III).- MATRICES (VII) OPERACIONES CON MATRICES (III).- Potencia. Se llama potencia de orden n y de base la matriz cuadrada A, a la matriz que se obtiene de Ejercicios: Pág. 59 el 26 y 27 –ellos-.

donde I es la matriz identidad. MATRICES (IX) MATRIZ INVERSA.-  Definición de matriz inversa.- Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa de A, se representa por A-1, a otra matriz del mismo orden que verifica: , donde I es la matriz identidad. La matriz inversa no siempre existe, de hacerlo ésta es única. Si una matriz tiene inversa se dice que es regular. Cuando no tiene inversa se llama singular. Ejercicios: Pág. 45 el 4, 5, 9 y 10-b-c / pág. 57 el 2-c-g-f y 6 / pág. 58 el 13, 14 y 25. Ejercicios: Pág. 43 el 1-a-c.

Determinantes de matrices de orden 2 y 3.- De orden 2: DETERMINANTES (I)  Definición de determinante.- A cada matriz cuadrada A se le asocia un número real, que se denomina determinante de y se denota por det (A) o por .  Determinantes de matrices de orden 2 y 3.- De orden 2: De orden 3: Ejercicios: Pág. 65 el 1-a-b y 2-a. Se llama (Regla de Sarrus)

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (I).- DETERMINANTES (II) PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (I).- 1) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. 2) Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) de ceros, su determinante es cero. 3) Si se permutan dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. 4) Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales, su determinante es cero. 5) Si multiplicamos por un mismo número todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por dicho número.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (II).- DETERMINANTES (III) PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (II).- 6) Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero. 7) Se cumple: 8) Si un determinante tiene una de sus filas (o columnas) combinación lineal de las demás, su valor es cero. Ejercicios: Pág. 67 el 4 y 5. 9) El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

TRES CONCEPTOS FUNDAMENTALES.- DETERMINANTES (IV) TRES CONCEPTOS FUNDAMENTALES.- Menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada A, de orden n, es el determinante de la matriz cuadrada de orden n -1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j. Se representa por . Adjunto Aij de un elemento aij de una matriz cuadrada A es el producto de -1 elevado a (i+j), por el valor del menor complementario de ese elemento. Es decir: Matriz adjunta.- Si en una matriz cuadrada A, cada elemento se sustituye por su adjunto, se obtiene otra matriz que recibe el nombre de matriz adjunta. Se representa por Ad. Ejercicios: Pág. 70 el 2.

Pág. 71 el 1®, 2® y 3® / pág. 73 el 1-a® y 1-a-d. DETERMINANTES (V) DESARROLLO DE DETERMINANTES DE ORDEN MAYOR DE TRES.- Determinantes de orden mayor de tres.- Cualquier determinante se puede calcular aplicando la siguiente expresión, a cualquiera de sus filas o columnas: Se dice que se ha desarrollado por la primera fila. También se puede desarrollar por cualquier otra fila o columna. Ejercicios: Pág. 71 el 1®, 2® y 3® / pág. 73 el 1-a® y 1-a-d. Normalmente lo que se hace antes de desarrollar es “hacer ceros”. Este procedimiento se basa en la aplicación de las propiedades de los determinantes.

Según esta definición podemos establecer la siguiente clasificación: DETERMINANTES (VI) MATRIZ INVERSA Cálculo de la matriz inversa.- La matriz inversa, A-1, de una matriz regular A es la traspuesta de la adjunta de A, dividida por el determinante de A, siendo . Es decir: Según esta definición podemos establecer la siguiente clasificación: 1º) Si la matriz tiene inversa, se llama matriz regular. 2º) Si la matriz no tiene inversa, se llama matriz singular. Ejercicios: Pág. 78 el 1®, 2® y 1.

Pág. 82 el 3® / pág. 83 el 10-a-b / pág. 84 el 12-a-b y 25. DETERMINANTES (VII) RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ Menores de orden h.- Son los determinantes de las submatrices cuadradas de orden h. Rango de una matriz.- Es el orden del menor de mayor orden distinto de cero. Se simboliza con rang (A) ó r (A). Ejemplo: Dada la matriz . Calculemos el rango. Para ello buscamos de menor a mayor, menores que sean distintos de cero: Desde otro punto de vista, si tomamos las filas (o columnas) como las componentes de un vector, el rango representa en número de vectores linealmente independientes. Ejercicios: Pág. 79 el 2® (incluido el “Hazlo tu”) y el 3® / pág. 80 el 5-a® y 5-b®. Ejercicios: Pág. 82 el 3® / pág. 83 el 10-a-b / pág. 84 el 12-a-b y 25. Ejercicios: Pág. 75 el 1®. No puede ser más de tres ya que no tengo más filas, luego r(A)=3. Cuando ampliamos un menor añadiéndole filas y columnas se dice que “orlamos” el menor.

OTRAS PROPIEDADES IMPORTANTES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2013

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2011

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2015 (I)

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2015 (II)

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2015 (III)

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2017 (I)

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Año 2017 (II)