Análisis Numéricos Unidad 2

RAÍCES DE ECUACIONES

DEFINICIÓN raíces reales raíces complejas Definición Raíz de una ecuación (o cero de una ecuación) es el valor de la variable para el cual la función se anula. raíces complejas

Encontrar las raíces consiste en obtener una raíz de x de una ecuación de la forma f(x)=0 para una función dada f. Estos valores de x que hacen a la ecuación igual a cero. Por eso algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación. Aunque la formula cuadrática es útil para resolver ecuaciones, hay muchas funciones diferentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos los métodos numéricos proporcionan métodos eficientes para obtener la respuesta.

ECUACIONES ALGEBRAICAS Solución de una ecuación algebraica de primer grado es solu Solución de una ecuación algebraica de segundo grado algebraicas Generalmente las que se pueden expresar a través de polinomios

BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ Bisección Regla falsa Punto fijo

MÉTODOS GRÁFICOS Como auxiliares en la comprensión visual de los métodos numéricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el número de posibles raíces y la identificación de casos en los que los métodos abiertos no funcionan. gráficos Como auxiliares en la comprensión visual de los métodos numéricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el número de posibles raíces y la identificación de casos en los que los métodos abiertos no funcionan.

MÉTODO GRÁFICO f(x) Visual x xr

MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO DE BISECCIÓN Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xm como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisección xm, coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

f(x) < ) x ( f ). m i f(xi) PASO 1. xs x xi f(xs)

PASO 2. La fórmula de recurrencia para el método de bisección es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo: m

f(x) 2 s i m x + = f(xi) PASO 2. (CONTINUA) f(xr) xs x xi xr f(xs)

PASO 3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos esta la raiz: Si f(xi)*f(xm)>0 entonces la raiz esta en el subintervalo inferior. Por lo tanto xi=xm; f(xi)=f(xm) y continua paso 2. Si f(xi)*f(xm)<0 entonces la riaz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto xs=xm; f(xs)=f(xm) y continua paso 2.

PASO 4. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisección xm, coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE BISECCIÓN Valor verdadero===== Intervalos Raíz media Función Evaluada Condiciones

MÉTODO DE BISECCIÓN x e ) ( f - = Valor Verdadero = 0.567143 Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xm f(Xm) e(%) e*(%) 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84   2 0.75 -0.27763345 32.24 33.33 3 0.625 -0.08973857 10.2 20.00 4 0.5625 0.00728282 0.82 11.11 5 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26 6 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70 7 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37 8 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69 9 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34 10 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17 11 0.56689453 0.00038986 0.09 12 0.56713867 7.2379E-06 13 0.56726074 -0.00018406 0.02 14 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 Intervalos Función Raiz media

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) METODOS NUMERICOS x

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) < ) x ( f ). s i f(xi) xs x xi f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos [xi, f(xi)], [xs, f(xs)].

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) xs x xi f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)). Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xm, 0) y se toma xm como aproximación de la raíz buscada.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) xm xs x xi xm f(xr) f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA La fórmula de recurrencia para el método de la regla falsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes: MÉTODO DE LA REGLA FALSA

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xm, 0); se toma xm como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) m x = s f(xi) xs x xi xr xm f(xm) f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de intersección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) x xi xs f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA x e ) ( f - = MÉTODO DE LA REGLA FALSA iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%) 1 -0.63212056 0.61269984 -0.07081395 8.03   2 0.30634992 0.42977907 45.98 100.00 3 0.45952488 0.17205878 18.98 33.33 4 0.53611236 0.04890582 5.47 14.29 5 0.5744061 -0.01136694 1.28 6.67 6 0.55525923 0.01866424 2.1 3.45 7 0.56483266 0.0036226 0.41 1.69 8 0.56961938 -0.00387865 0.44 0.84 9 0.56722602 -0.00012965 0.01 0.42 10 0.56602934 0.00174607 0.2 0.21 11 0.56662768 0.00080811 0.09 0.11 12 0.56692685 0.0003392 0.04 0.05 13 0.56707644 0.00010477 0.03 14 0.56715123 -1.244E-05 Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143

PRECAUCIONES EN EL USO DE MÉTODOS CERRADOS Los métodos cerrados siempre convergen, aunque lentamente. En la mayoría de los problemas el método de la regla falsa converge más rápido que el de bisección. Conviene utilizar la calculadora graficadora o una computadora para graficar la función y realizar los acercamientos necesarios hasta tener claridad sobre su comportamiento.