Tema X: Optimización con restricciones de desigualdad

Hipótesis de cualificación de restricciones NO las daremos Utilizaremos el concepto de punto regular

Definiciones: Conjunto factible Restricción saturada en un punto Punto regular. conjunto factible es REGULAR si los gradientes de las restricciones saturadas en son L.I (determinante o rango máximo) También se consideran regulares puntos del interior, o sea, que no saturan ninguna restricción

Forma normal:

Ejemplo (1/2): (0,1) ¿es regular? * (1/2,1/2) es regular (0,0)

Ejemplo (2/2): * ¿Qué restricciones satura? 1ª y 3ª (1/2,1/2) (0,0) {(1,1),(-1,0)} que son l.I (0,1) es regular (1/2,1/2) (0,0)

Teorema de Kuhn-Tucker. Óptimos Locales f y g son diferenciables es punto regular .

Observaciones: 1. son los multiplicadores de Kuhn-Tucker. 2. Si es no nulo la restricción está saturada. 3. Las condiciones son necesarias siempre que sea punto regular

Los programas de minimización y maximización pueden formularse en la forma Ésta modificación afecta al signo de los multiplicadores . En concreto, las posibilidades son: Los multiplicadores asociados a restricciones no saturadas son nulos, mientras que los correspondientes a saturadas pueden ser nulas o no nulas.

Ejercicio 1: Analizar las condiciones necesarias de K-T para Ejercicio 1: Analizar las condiciones necesarias de K-T para los puntos indicados

Solución: es factible, además satura las dos primeras restricciones con Luego es regular. Veamos si : como no satura (3) y (4):

NO GARANTIZA mínimo local. Ver gráficamente

Ejercicio 2:

Solución: El punto (-5,-2) satura 2 y 4 es regular El punto(0,3) es regular y satura 1 y 2

>0 (-5,-2) verifica K-T (0,3) no verifica K-T

Gráficamente: No es óptimo 3 Máximo -5 -3 -2 Mínimo

Ejercicio 3:

Ejercicio 3: -3 Mínimo (0,0)

Numéricamente: (0,0) satura (1) y (2):

Ejercicio 4:

Ejercicio 4: 2 1 -1 1 -1 -2

Numéricamente: Condición

Ejercicio 5: Calcular analíticamente las soluciones factibles x Ejercicio 5: Calcular analíticamente las soluciones factibles x* verificando K-T

x*=(1,0;1/2) cumple la condiciones de K-T sea óptimo

Condiciones suficientes de segundo orden para óptimo local Con y sea x* un punto factible, regular que verifique las condiciones de K-T, i.e.

Condiciones suficientes de segundo orden para óptimo local Con y sea x* un punto factible, regular que verifique las condiciones de K-T (para máximo), i.e.

Condiciones suficientes de óptimo global: “En programas convexos las condiciones necesarias de K-T son también suficientes” Programa convexo Conjunto factible convexo + convexa (mínimo) Función objetivo cóncava (máximo) Conjunto factible convexo. Lo identificaremos mediante Hg(x) si Hg(x) es semidefinida (+) o definida (+) f.o.convexa (mínimo) a través de Hf(x), si es definida (+) o semidefinida (+) f.o. cóncava (máximo): Hf(x) semidefinida (-) o definida (-)

(A) f. convexa y región factible convexa (B) f. cóncava y región factible convexa

Observaciones: Las condiciones de K-T son las mismas a excepción de que los multiplicadores asociados a las restricciones de igualdad no tienen porqué tener un signo determinado. Las condiciones de globalidad son las mismas : f convexa (cóncava), g convexa y h lineales.

2. Optimización con conjunto factible compacto Denominando S al conjunto de posibles óptimos, entonces, a) x* es máximo global si con mayor imagen b) x* es mínimo global si con menor imagen Puede probarse que : vértices de la región factible = ptos de intersección de las restricciones puntos interiores de la región factible “interiores” “frontera”

Interpretación de los multiplicadores Sea x* óptimo del problema. Los multiplicadores de K-T cambiados de signo son las derivadas parciales del valor óptimo de la función objetivo respecto a los términos independientes de las restricciones saturadas. Por tanto, los multiplicadores dan una idea de la sensibilidad del valor óptimo frente a variaciones (infinitesimales) de las restricciones.