U.D. 9 * 2º BCS GRÁFICAS DE FUNCIONES

GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO U.D. 9.6 * 2º BCS GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO

Gráficas del valor absoluto 1.- CORTES CON LOS EJES Corte con el eje de ordenadas, OY: x = 0  y = f (0) Pc ( 0, f(0) ) Corte con el eje de abscisas, OX: f(x) = 0  xi = Raíces de la función f(x) EJEMPLO 1 y = | – 3.x + 2 | Corte con OY  x = 0  y = |2| = 2  Pc (0,2) Corte con OX  y = 0  – 3.x + 2 = 0  3.x = 2  x = 2 / 3  Pc(2 / 3 , 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 2.- MAXIMOS Y MÍNIMOS Si f (x) tiene un extremo relativo en x=xo y existe f ‘(x), entonces: f ‘ (x) = 0 Si f ”(xo) > 0, entonces f tiene en xo un MÍNIMO RELATIVO. Si f ”(xo) < 0, entonces f tiene en xo un MÁXIMO RELATIVO. Ejemplo 1 y = | – 3.x + 2 | Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = 3 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3 = 0 No existen máximos ni mínimos derivables. 3.- RAMAS INFINITAS o TENDENCIA Ramas infinitas Lím | – 3.x + 2 | = +oo x  - oo Lím | – 3.x + 2 | = | – oo| = +oo x  + oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 4.- INTERVALOS DE CRECIMIENTO Si f ‘ (x) > 0 y x c (a, b)  la función es CRECIENTE en ( a, b). Si f ‘ (x) < 0 y x c (a, b)  la función es DECRECIENTE en (a, b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función polinómica están limitados por los puntos singulares. Ejemplo 1 y = | – 3.x + 2 | y = – 3.x + 2 , si – 3.x + 2 > 0  3.x < 2  x < 2/3 y = 3.x – 2 , si – 3.x + 2 < 0  3.x > 2  x > 2/3 Si x > 2/3  y´= 3 > 0  Creciente en (2/3 , oo) Si x < 2/3  y´= – 3 < 0  Decreciente en (- oo, 2/3) En el punto (2/3 , 0) habrá un mínimo, pero es un punto no derivable. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 5.- PUNTO DE INFLEXIÓN Una función continua f tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x= xo , si en ese punto la función cambia su curvatura, es decir si pasa de cóncava a convexa o viceversa. Dada una función f y un punto xo perteneciente a su dominio, si se verifica que f “(xo) = 0 y f ‘’‘ (xo) <> 0 , entonces f posee en x=xo un PUNTO DE INFLEXIÓN. Ejemplo 1 y = | – 3.x + 2 | Su derivada era y ‘ = 3 ó – 3 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 0 Igualamos a cero: 0 = 0  Todos son posibles puntos de inflexión. Comprobamos que lo es hallando la tercera derivada: y’’’ = 0  No hay ningún punto de inflexión. Pues en todos ellos la tercera derivada se anula. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 6.- CURVATURA Si f “ (x) < 0, para todo x c ( a, b)  f es CONVEXA en (a, b) Si f “ (x) > 0, para todo x c ( a, b)  f es CÓNCAVA en (a, b) Los puntos donde se delimita la curvatura son los puntos de inflexión. Como y´´(x) = 0, no hay curvatura. 7.- SIMETRÍA Si f(x) = f( - x)  Simetría PAR. Si f(x) = - f( - x)  Simetría IMPAR. Ejemplo 1 f(x) = | – 3.x + 2|  f(– x) = | 3.x + 2|  – f(– x) = – |3.x + 2|  No hay simetría alguna. 8.- TABLA DE VALORES Lo usual es que la Tabla de Valores sea una recopilación de los puntos obtenidos en los apartados anteriores: Cortes, máximos y mínimos, puntos de inflexión; y sólo en caso necesario algún punto más. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica del Ejemplo 1 4 2 y = | – 3.x + 2 | - 2 -1 0 1 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Gráficas del valor absoluto 1.- CORTES CON LOS EJES EJEMPLO 2 y = | x2 – 4 | Con OY  x = 0  y = | - 4 | = 4  Pc (0,4) Con OX  y = 0  x2 – 4 = 0  x2 = 4  Pc(-2, 4) y Pc(2, 4) 2.- SIMETRÍA f(x) = | x2 – 4 | f(-x) = | (-x)2 – 4 | - f(-x) = - | (-x)2 – 4 | Vemos que hay simetría PAR, pues f(x) = f(-x) al ser todo potencias pares. La gráfica debe ser simétrica respecto al eje OY. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 y = | x2 – 4 | x2 – 4 = 0  x = +/- 2 son las raíces. x2 – 4, si x < - 2 y = 4 – x2 , si - 2 < x < 2 x2 – 4, si x > 2 Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = 2.x Igualamos a cero: y ‘ = 0  2.x = 0  x = 0 Como 0 > - 2 en (-oo, -2) no hay ningún máximo ni mínimo derivable. y ‘ = - 2.x Igualamos a cero: y ‘ = 0  - 2.x = 0  x = 0 Miramos si es máximo o mínimo, por la derivada segunda: y ‘’ = – 2 < 0  P (0, 4) es un Máximo Como 0 < 2 en (2, +oo) no hay ningún máximo ni mínimo derivable. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 x2 – 4, si x < - 2 y = 4 – x2 , si - 2 < x < 2 x2 – 4, si x > 2 Lím x2 – 4 = + oo  Lím 4 – x2 = - oo x  - oo x  - oo Lím x2 – 4 = + oo  Lím 4 – x2 = - oo x  + oo x  +oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 x2 – 4, si x < - 2 y = 4 – x2 , si - 2 < x < 2 x2 – 4, si x > 2 Su derivada era y ‘ = 2.x en (-oo, - 2) y en (2, +oo) y´= – 2.x en (-2, 2) En x = 2 había un máximo relativo. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2) , (-2, 0) , ( 0, 2) y (2, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ ( -3) = 2.(-3) = - 6 < 0  Decreciente en (- oo, -2) f ’ ( -1) = - 2.(-1) = 2 > 0  Creciente en (- 2, 0) f ’ ( 1) = - 2(1) = – 2 < 0  Decreciente en (0, 2) f ’ ( 3) = 2.(3) = 6 > 0  Creciente en (2, oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 x2 – 4, si x <= - 2 y = 4 – x2 , si - 2 < x < 2 x2 – 4, si x >= 2 Su derivada era y ‘ = 2.x en (-oo, - 2) y en (2, +oo), y´= – 2.x en (-2, 2) En x = 2 había un máximo relativo. Su segunda derivada es: y ´´ = 2 en (-oo, - 2) y en (2, +oo), y´´= – 2 en (-2, 2) INTERVALOS DE CONCAVIDAD Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2) , (-2, 0) , ( 0, 2) y (2, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ´´ ( -3) = 2 > 0  Cóncava en (- oo, -2) f ´´ ( -1) = - 2 < 0  Convexa en (- 2, 0) f ´´ ( 1) = – 2 < 0  Convexa en (0, 2) f ´´ ( 3) = 2 > 0  Cóncava en (2, oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 x2 – 4, si x <= - 2 y = 4 – x2 , si - 2 < x < 2 x2 – 4, si x >= 2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD En x= -2 f(-2) = (-2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 Lím (x2 – 4) = lím (4 – x2)  0 = 0 x-2- x-2+ Es continua en x = – 2 , pues f(-2) = límite. En x= 2 f(2) = (2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 Lím (4 – x2) = lím (x2 – 4)  0 = 0 x2- x2+ Es continua en x = 2 , pues f(2) = límite. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica del Ejemplo 2 4 2 y = | x2 – 4 | - 2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15

Ejemplo_3 Sea la función y = | 5.x – 2.x2 | CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = 0  Pc(0 , 0) Corte con el eje OX: f (x) = 0  5.x – 2.x2 = 0  x = 0 , x = 5/2  Pc (0, 0) y Pc (5/2, 0) SIMETRÍAS f(x) = | 5.x – 2.x2 | ; f( - x) = | – 5.x – 2.x2 |  No hay simetría PAR. f(x) = | 5.x – 2.x2 | ; - f( - x) = – | 5.x – 2.x2 |  No hay simetría IMPAR.

DOMINIO DE DEFINICIÓN y = | 5.x – 2.x2 |  Dom f(x) = R MONOTONÍA – 5.x + 2.x2 si x < 0 y = 5.x – 2.x2 si 0 =< x =< 2,5 – 5.x + 2.x2 si x > 2,5 – 5 + 4.x si x < 0 y ‘ = 5 – 4.x si 0 =< x =< 2,5 – 5 + 4.x si x > 2,5 Igualamos a cero para hallar los intervalos: – 5 + 4.x = 0  x = 1,25 > 0  No sirve, pues x < 0 5 – 4.x = 0  x = 1,25 , válido, pues 0 =< x =< 2,5 – 5 + 4.x = 0  x = 1,25  No sirve, pues x > 2,5 Los intervalos son (-oo, 0) , (0 , 1,25) , (1,25 , 2,5) y (2,5 , +oo) f ‘ (- 2) = = – 5 + 4.(-2) = – 5 – 8 = - 13 < 0  DECRECIENTE en (-oo, 0). f ‘ (1) = = – 5 + 4.(1) = – 5 + 4 = - 1 < 0  DECRECIENTE en (0 , 1,25). f ‘ ( 2) = = – 5 + 4.(2) = – 5 + 8 = 3 > 0  CRECIENTE en (1,25 , 2,5). f ‘ (3) = = – 5 + 4.(3) = – 5 + 12 = 7 > 0  CRECIENTE en (2,5 , +oo).

MAXIMOS Y MÍNIMOS y = | 5.x – 2.x2 | Hallamos la primera derivada: 5 – 4.x = 0  x = 1,25 , válido, pues 0 =< x =< 2,5 Vemos si es máximo o mínimo con la derivada segunda: y ” = – 4 < 0  Es un Máximo relativo. Ordenada: y = | 5.1,25 –2.(1,25)2| = | 6,25 – 3,125 | = 3,125   Max(1,25 , 3,125) CURVATURA Sea la segunda derivada: 4 si x < 0 y “ = – 4 si 0 =< x =< 2,5 4 si x > 2,5 Igualamos a 0 la segunda derivada: Imposible, pues 4 <>0 y -4<> 0 No existen Puntos Inflexión. Los intervalos de curvatura nos lo darán los ceros del valor absoluto: Son (-oo, 0), (0 , 2,5) y (2,5 , +oo). y ‘‘ (-3) = 4 > 0  Cóncava en (-oo, 0) y ‘‘ (1) = – 4 < 0  Convexa en (0 , 2,5) y ‘‘ (3) = 4 > 0  Cóncava en (2,5 , +oo)

y Max(1,25 , 3,125) Gráfica del Ejemplo_3 0 1,25 2,5 x