Analisis de Regresion Para dos Variables

Objetivo del Analisis de Regresion 1. Estimar una relacion entre variables economicas, tal como y = f(x). Explicacion cuantitativa de dicha relacion. 2. Predecir el valor de una variable y, basado en el valor de otra variable x.

Gastos Alimenticios Semanales y = Euros gastados en alimentos por semana. x = renta familiar del consumidor por semana. Supongamos que la relacion entre x y el valor esperado de y sea lineal: P(y|x) = E(y|xi) = f(xi) = 1 + 2 xi Cada media condicionada E(y|xi) es una funcion de xi. Esta ecuacion se conoce como la recta de regresion poblacional (RRP).

f(y|x=80) f(y|x=80) y y|x=80 Probabilidad Condicional f(y|x=80) del Gasto Alimenticio dada una renta de x=€80.

f(y|x) f(y|x=80) y y|x=80 f(y|x=100) y|x=100 Probabilidad Condicional f(y|x=80) del Gasto Alimenticio dada una renta de x=€80 y x=€100.

Y Media Condicional E(y|xi) X 80 100 120 Recta de Regresion 149 101 65 Recta de Regresion Poblacional Distribucion de Y dado X=120 X 80 100 120

{ Consumo Medio Y E(y|x) E(y|x)=1+2x E(y|x) 2= E(y|x) x x pendiente { 1 constante X (renta) Modelo Econometrico: una relacion lineal entre consumo medio y renta.

Especificacion Estocastica de la RRP Dado un nivel de renta Xi, el consumo familiar se concentra alrededor del consumo medio de todas las familias con nivel de renta Xi .. Es decir alrededor de su media condicional, E(Y|Xi). La desviacion de un individuo Yi es: ui = Yi - E(Y|Xi) o Yi = E(Y|Xi) + ui o Yi = 1 + 2 X + ui Error estocastico

El Termino de Error y es una variable aleatoria compuesta de dos partes (suponga x fija): I. Componente sistematico: E(y) = 1 + 2x Esta es la media de y. II. Componente aleatorio: u = y - E(y) = y - 1 - 2x Denominado error. Uniendo E(y) y u obtenemos el modelo: y = 1 + 2x + u

Razones para la existencia de u Imprecision de la teoria economica Datos no disponibles Efecto directo vs efecto indirecto Comportamiento humano es intrinsecamente aleatorio Deficientes variables “proxy” Principio de la Parsimonia (“La navaja de Occam”) Omision de variables relevantes Mala especificacion de la forma funcional

Diferentes muestras tienen diferentes RRM Recta de Regresion Muestral (RRM) (RRP) y E(y) = 1 + 2x . y4 u4 { ^ ^ ^ y = 1 + 2x (RRM) . y3 } u3 . y2 u2 { } . u1 y1 x x1 x2 x3 x4 Diferentes muestras tienen diferentes RRM

RRM: Yi = 1 + 2 Xi o Yi = 1 + 2 Xi + ui o Yi = b1 + b2 Xi + ei RRP: Yi = 1 + 2 Xi + ui Yi = estimador de Yi (E(y|xi) i o bi = estimador de i ^ ^ ^ Residuo ^ ^ ^ ^ Error ^ ^

. . { } ^ y (RRM) ^ ^ ^ y = 1 + 2x y4 E(y|x)=1+2x y3 (RRP) y2 u2 Relacion entre y, u y la recta de regresion verdadera.

La relacion entre y, u y la recta de regresion ajustada. ^ u4 { . ^ y4 ^ y3 . ^ . u3 } . y2 y3 ^ u2 { . ^ y2 ^ y1 . ^ } u1 . y1 x x1 x2 x3 x4 La relacion entre y, u y la recta de regresion ajustada. ^

Valores de la regresion poblacional: yi = 1 + 2x i + ui Recta de regresion poblacional: E(y i|xi) = 1 + 2x i ^ Valores de la regresion muestral: yi = b1 + b2xi + u i Recta de regresion muestral: yi = b1 + b2xi

MCO RRM2:Y2= a1+a2X ^ Y RRM1:Y1= b1+b2X ^ 1 -2 1 -1/2 1 2 -21/2 -1 -1 X RRM1: u2 =12 + 12 + 12 + 12 + 22 = 8 menor RRM2: u2 =22 + 02 + (-1/2)2 + 12+ (-21/2 )2 = 11.5

Minimos Cuadrados Ordinarios (MCO) yi = 1 + 2xi + ui u i = y i - 1 - 2x i Minimiza la suma de errores al cuadrado:  ui2 = (y i - 1 - 2x i )2 = f(1,2) i=1 n n i=1

f(1,2) = (y i - 1 - 2x i )2 Minimiza c.r.a. 1 y 2: 1 2 f() = - 2 xi (yi - 1 - 2xi ) 2 Iguale estas derivadas a cero y resuelva dos ecuaciones con dos incognitas: 1 2

. . . f() = (y i - 1 - 2x i )2 Minimizar c.r.a. 1 y 2: f(.) t =1 n f(.) f(.) .  f(.)  < .  i  f(.)   =  f(.)  >  i  i . bi i

1 y 2 se convierten en b1 y b2 porque ya no CPO para minimizar f(.) f() = - 2 (y i - b1 - b2xi ) = 0 1 f() = - 2 xi (yi - b1 - b2xi ) = 0 2 Cuando estos dos terminos se igualan a cero, 1 y 2 se convierten en b1 y b2 porque ya no representan cualquier valor de 1 y 2 sino los valores especificos que corresponden al minimo de f() .

xi yi - b1 x i - b2  xi = 0 nb1 + b2  xi = y i - 2 (y i - b1 - b2xi ) = 0 - 2 xi (y i - b1 - b2xi ) = 0 yi - nb1 - b2  xi = 0 xi yi - b1 x i - b2  xi = 0 2 nb1 + b2  xi = y i b1 xi + b2  xi = xi yi 2

Despejando las dos incognitas = yi = xi yi n  xi xi  xi2 b1 b2 Despejando las dos incognitas n xi yi -  xi yi n x i - ( xi ) 2 b2 = b1 = y - b2 x

y . y4 { y = b1 + b2x ^ e4 ^ * y3 ^ * . y2 ^ * . y = b1 + b2x ^ * * * . y4 ^ y1 ^ * * e3 ^ * { { . { . e2 ^ * . y2 y3 e1 ^ * . y1 x x1 x2 x3 x4 Por que la RRM es la mejor? Porque la suma de los cuadrados de los residuos de cualquier otra recta seria mayor. ^

Supuestos del Modelo de Regresion Lineal Simple 1. Modelo de regresion lineal: (Lineal en los parametros) y = 1 + 2x + u 2. Muestreo aleatorio: {(yi, xi); i=1, …, n} muestra aleatoria del modelo poblacional 3. Media condicional de u es cero, E(ui| xj) = 0 4. Variacion muestral en la variable independiente 5. Homocedasticidad o igual varianza de ui, var(ui|xj) = 2

. . Caso Homocedastico f(yi) yi xi x1=80 x2=100 gasto . . xi x1=80 x2=100 renta Las varianzas de yi en dos niveles distintos de renta familiar, x i , son identicas.

. . . Caso Heterocedastico f(yi) yi x1 x2 x3 x t gasto . . . x1 x2 x3 x t renta La varianza de yi aumenta con la renta de la familia xi.

Supuestos del MRLSF (continua) 6. No autocorrelacion entre los errores. cov(ui,uj|xi ,xj) = 0, para todo ij

elasticidades Cambio porcentual en y y/y y x  = = Cambio porcentual en x  = = x/x y/y y x x y Usando calculo, podemos obtener la elasticidad en un punto y x y x  = lim = x y x y x 0

aplicando elasticidades E(y) = 1 + 2 x E(y) x =  2 E(y) x =  2 = E(y) x

estimando elasticidades y x =  b2 = y x ^ yt = b1 + b2 x t = 4 + 1.5 x t ^ x = 8 = años medios de experiencia y = €10 = salario por hora medio = 1.5 = 1.2 8 10 =  b2  y x ^

Prediccion yt = 4 + 1.5 x t x t = años de experiencia La ecuacion estimada de regresion: yt = 4 + 1.5 x t ^ x t = años de experiencia yt = salario previsto ^ Si x t = 2 años, entonces yt = €7.00 por hora. ^ ^ Si x t = 3 años, entonces yt = €8.50 por hora.

modelos log-log ln(y) = 1 + 2 ln(x) ln(y) x ln(x) =  2 y x

y x =  2 1 y x =  2 y x x y elasticidad de y con respecto a x: =  2 y x x y  =