DERIVADA 1º Bachillerato C/T. 18/09/2011

f(x) = 5x – 1 en el intervalo (-2, 3) TASA DE VARIACIÓN Dada una función f: A   , se llama TASA DE VARIACIÓN de f para el intervalo (a, b) a f(b) – f(a) Ejemplos f(x) = 5x – 1 en el intervalo (-2, 3) f(3) = 5·3 – 1 = 14 f(-2) = 5·(-2) – 1 = -11 T.V. = 14 – (-11) = 25 g(x) = tgx en el intervalo (-/4, /4) g(/4) = tg(/4) = 1 g(-/4) = tg(-/4) = -1 T.V. = 1 – (-1) = 2 MÁS EJEMPLOS

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f: A   , se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de f para el intervalo (a, b) al cociente f(b) – f(a) b – a Ejemplos f(x) = 5x – 1 en el intervalo (-2, 3) T.V. = 14 – (-11) = 25 T.V.M. = 25/[3 – (-2)] = 25/5 = 5 g(x) = tgx en el intervalo (-/4, /4) T.V. = 1 – (-1) = 2 T.V.M. = 2/[/4 – (-/4)] = 4/  MÁS EJEMPLOS

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA f(b) – f(a) f(b) – f(a)  b – a b – a T.V.M. = = tg  = pendiente de la recta secante a la gráfica [que pasa por (a, f(a)) y (b(f(b)]

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA  DERIVADA Dada una función f: A   , se llama TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA de f para x = a, al límite: f(a + h) – f(a) h lim h  0 = La tasa de variación instantánea en x = a, también se llama DERIVADA de la función f en x = a, y se denota f ’(a) f ’(a) Ejemplos Tasa de variación instantánea de f(x) = 5x – 1 en x = 2 f(2) = 5·2 – 1 = 9 f(2 + h) = 5·(2+ h) – 1 = 9 + 5h f(2 + h) – f(2) h 9 + 5h -9 h 5h h = = = 5 f(2 + h) – f(2) h Por tanto: f ‘(2) lim h  0 lim h  0 = = 5 = 5 MÁS EJEMPLOS

FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. La función que a cada xDomf le hace corresponder f ‘(x), si existe, se llama función derivada de f, o simplemente, derivada de f, y se escribe f ‘ Del mismo modo, podemos hablar de la derivada de f ‘, que representamos por f ”(x) y que se llama derivada segunda de f Análogamente podemos hablar de derivada tercera, cuarta, etc. En general nos referiremos a la derivada de orden n o derivada n-sima de f; f(n)(x) DERIVADAS LATERALES Derivada lateral de f(x) en x = a por la izquierda: Derivada lateral de f(x) en x = a por la derecha: Una función f es derivable en x = a si y sólo si existen y son iguales f ‘(a–) y f ‘(a+)

DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Función derivada de f(x) = x f ‘(x) = 1 f(x + h) = x + h f(x + h) – f(x) h x + h – x h h = = = 1 f(x + h) – f(x) h Por tanto: f ‘(x) lim h  0 lim h  0 = = 1 = 1 Función derivada de f(x) = x2 f ‘(x) = 2x f(x + h) = (x + h)2 = x2 + 2xh + h2 f(x + h) – f(x) h x2 + 2xh + h2 – x h 2xh + h2 h = = = 2x + h f(x + h) – f(x) h Por tanto: f ‘(x) lim h  0 lim h  0 = = 2x + h = 2x

DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Derivada de f(x) = x3 f ‘(x) = 3x2 f(x + h) = (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 f(x + h) – f(x) h x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – x h 3x2h + 3xh2 + h3 h = = = 3x2 + 3xh + h2 f(x + h) – f(x) h Por tanto: f ‘(x) lim h  0 lim h  0 = = 3x2 + 3xh + h2 = 3x2 Derivada de f(x) = xn f ‘(x) = nxn – 1 f(x + h) = (x + h)n= xn + nxn – 1h + a(n)xn – 2h2 + ··· + hn f(x + h) – f(x) h nxn – 1h + a(n)xn – 2h2 + ··· + hn h = = nxn – 1 + a(n)xn – 2h + ··· + hn – 1 f(x + h) – f(x) h Por tanto: f ‘(x) lim h  0 lim h  0 = = nxn – 1 + a(n)xn – 2h + ··· + hn – 1 = = nxn – 1 Puede demostrarse que si f(x) = xa, a  , entonces f ‘(x) = axa – 1

DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Derivada de f(x) = f ‘(x) = f(x + h) = f(x + h) – f(x) h Por tanto: f ‘(x) = Obsérvese que f(x) = Por tanto, también puede aplicarse el resultado obtenido para las potencias: f ‘(x) =

DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Derivada de f(x) = senx f ‘(x) = cosx f(x + h) = sen(x + h) = senx · cosh + senh · cosx f(x + h) – f(x) h f ‘(x) =

TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN DERIVADA y = xa aR y’ = axa–1 y = . y = ln(x) y = loga(x); . y = ax; a>0 y’ = ax·ln(a) y = ex y’ = ex y = senx y’ = cosx y = cosx y’ = –senx

CÁLCULO DE DERIVADAS: REGLAS DE DERIVACIÓN (f ± g)’(x) = f ’(x) ± g’(x) Ejemplo: y = x3 + senx – lnx

CÁLCULO DE DERIVADAS: REGLAS DE DERIVACIÓN (f · g)’(x) = f ‘(x)·g(x) + f(x)·g’(x) Ejemplo 1: y = ex·cosx y’ = ex·cosx + ex·(–senx) = (cosx – senx)ex Ejemplo 2: y = C·f(x) y’ = 0·f(x) + C·f ‘(x) = C·f ‘(x) Ejemplo 3: y = 5x3 + 3x2 – 2x + 7 y’ = 5·3x2 + 3·2x – 2·1 + 0 = 15x2 + 6x – 2

CÁLCULO DE DERIVADAS: REGLAS DE DERIVACIÓN

cosx·cosx – senx·(–senx) CÁLCULO DE DERIVADAS: REGLAS DE DERIVACIÓN senx cosx Ejemplo 1: y = tanx = cosx·cosx – senx·(–senx) cos2x cos2x + sen2x cos2x y’ = = Esta expresión se puede simplificar de varias formas: cos2x + sen2x cos2x 1 . cos2x y’ = = = sec2x cos2x + sen2x cos2x cos2x sen2x cos2x y’ = = + = 1 + tan2x 0·x – 1·1 x2 –1 . x2 Ejemplo 2: y = y’ = =

CÁLCULO DE DERIVADAS: REGLA DE LA CADENA Ejemplo: y = esenx f(x) = ex g(x) = senx f ‘(x) = ex g’(x) = cosx y’ = esenx·cosx

y’ = af(x)·ln(a)·f ‘(x) CÁLCULO DE DERIVADAS: TABLA AMPLIADA FUNCIÓN DERIVADA y = xa aR y’ = axa–1 y = . y = ln(x) y = loga(x); . y = ax; a>0 y’ = ax·ln(a) y = ex y’ = ex y = senx y’ = cosx y = cosx y’ = –senx y = tanx y’ = 1 + tan2x FUNCIÓN DERIVADA y = [f(x)]a aR y’ = a [f(x)]a–1·f ‘(x) y = . y = ln(f(x)) y = loga(f(x)); . y = af(x); a>0 y’ = af(x)·ln(a)·f ‘(x) y = ef(x) y’ = ef(x)·f ‘(x) y = sen[f(x)] y’ = cos[f(x)]·f ‘(x) y = cos[f(x)] y’ = –sen[f(x)]·f ‘(x) y = tan[f(x)] y’ = [1 + tan2f(x)]·f ‘(x)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA h  0 f(a+h) – f(a) T.V.M. = = tg  = pendiente de la recta secante a la gráfica h Recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = a: y = f ‘(a)(x – a) + f(a) Recta normal a la gráfica de y = f(x) en x = a: y = (x – a) + f(a) http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Ejemplo Calcula el área del triángulo formado por el eje de abscisas y las rectas tangente y normal a la curva y = x2 + 1 en el punto de abscisa x = 1 f ‘(x) = 2x f ‘(1) = 2·1 = 2 f(1) = 12 + 1 = 2 RECTA TANGENTE: y = 2(x – 1) + 2  y = 2x RECTA NORMAL: y = (x – 1) + 2  y = Corte de la recta tangente con OX: y = 0  x = 0  A(0, 0) Corte de la recta normal con OX: y = 0  x = 5  B(5, 0) Distancia entre A y B = Base del triángulo = 5 Altura del triángulo = f(1) = 2 Área del triángulo =

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. Si f es una función derivable en x = a, entonces f es continua en x = a Ejemplos Esboza la gráfica de y = f ‘(x) a partir de la gráfica de y = f(x) Vemos que la tangente a la gráfica de f en x = 1 y x = 3 es horizontal. Por tanto, f ‘(1) = 0 = f ‘(3) Si 0 < x <1 y si x > 3, la pendiente de la tangente es positiva (f ‘(x) > 0) y negativa en el resto.

Ejemplos Considera la función f(x) = ¿Existe f ‘(0)? ¿Existe f ”(0)? En primer lugar, para que sea derivable en x = 0, ha de ser continua en x = 0:  f es continua en x = 0, y, por tanto, en (–, +) Derivamos:  f ‘(0) = 0 Observamos que f ‘(x) es continua en x = 0 por la igualdad de los límites anteriores Derivamos de nuevo: Esta función no es continua en x = 0 (salto finito). Por tanto no puede ser derivable en x = 0: NO EXISTE f “(0)

Observamos punto anguloso Ejemplos Estudia si la función f(x) = es derivable en x = 1. En primer lugar, para que sea derivable en x = 1, ha de ser continua en x = 1:  f es continua en x = 1, y, por tanto, en (–, +) Derivamos:  NO EXISTE f ‘(1) Observamos punto anguloso

Ejemplos Considera la función f: [0, 4]  R definida por f(x) = Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c. Por ser derivable, ha de ser continua:  2c = 4 + 2a + b [1] f es derivable: f ‘(x) =  c = 4 + a [2] Y de la condición de ser f(0) = f(4): 4c = b [3] Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por [1], [2] y [3]: a = –3, b = 4, c = 1

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Se llama así a la técnica empleada para derivar funciones con cierto grado de complejidad que se simplifica al tomar logaritmos previamente. Ejemplo 1: Se toman logaritmos: Ly = Lxx = xLx Se deriva: Despejamos y’: y’ = y(Lx + 1) Sustituimos y: y’ = xx(Lx + 1) Ejemplo 2: Se toman logaritmos: Ly = L(x2 + 1)senx = senx·L(x2+1) Se deriva: Despejamos y’: Sustituimos y:

DERIVACIÓN IMPLÍCITA A veces, o bien no se puede, o es complicado despejar en una igualdad la variable dependiente para poder derivar después. En estos casos es útil el método de derivación implícita. Ejemplo 1: Obtén la ecuación de la tangente a la curva xy5 – y2 + x3 = 9 en el punto P(2, 1) Derivamos directamente ambos miembros de la igualdad: 1·y5 + x·5y4·y’ – 2y·y’ + 3x2 = 0  y5 + 3x2 = (2y – 5xy4)·y’  Calculamos la derivada en el punto P sustituyendo x por 2 e y por 1: La recta tangente es:

FIN DEL CAPÍTULO