Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia Unidad V Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia Conferencia 3 C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 1

Objetivos Contenido Definir el fenómeno de resonancia. Utilizar adecuadamente las relaciones de: ancho de banda, frecuencia de media potencia, factor de calidad y frecuencia de resonancia, en la caracterización de las redes eléctricas conectadas tanto en serie como en paralelo. Contenido 5.4 Circuitos resonantes C. R. Lindo Carrión

Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es: 5.4 Circuitos Resonantes La Figura 17 muestra dos circuitos con características de frecuencia extremadamente importante, el circuito resonante serie y el circuito resonante paralelo. Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es: C. R. Lindo Carrión

Para el circuito RLC paralelo, la admitancia de entrada es: Los términos imaginarios para ambas ecuaciones anteriores serán cero si: El valor de  que satisface esta ecuación es: Y en este valor de  la impedancia del circuito en serie es: Z(jo) = R Y en este valor de  la admitancia del circuito en paralelo es: Y(jo) = G C. R. Lindo Carrión

Esta frecuencia o, a la que la impedancia del circuito en serie o la admitancia del circuito en paralelo es puramente real, se llama frecuencia resonante, y los circuitos mismos, en esta frecuencia, se dice que están en resonancia. En la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase y, por consiguiente, el ángulo de fase es cero y el factor de potencia es unitario. En el caso en serie, en la resonancia la impedancia es un mínimo y, por consiguiente, la corriente es máxima para un voltaje dado. La Figura 18 ilustra la respuesta de frecuencia de los circuitos RLC en serie y en paralelo. A bajas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término capacitivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término inductivo. C. R. Lindo Carrión

A altas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término inductivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término capacitivo. C. R. Lindo Carrión

donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. Por tanto, Resonancia Paralelo La ganancia de corriente Isal/If del circuito paralelo mostrado en la Figura 19 es donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. Por tanto, sustituyendo Y en la ecuación de H, C. R. Lindo Carrión

La frecuencia de resonancia es: El término imaginario es igual a cero en la frecuencia de resonancia, cuando C=1/L. La frecuencia de resonancia de un circuito resonante en paralelo se define como la frecuencia o a la cual la admitancia Y es no reactiva. La frecuencia de resonancia es: Un circuito resonante es una combinación de elementos sensibles a la frecuencia, conectados para obtener una respuesta selectora de frecuencia. Para el circuito RLC en paralelo se define otro parámetro llamado factor de calidad Q como C. R. Lindo Carrión

energía máxima almacenada Q = 2 energía disipada por ciclo donde Q es un coeficiente adimensional. En esencia Q es una medida de la capacidad de almacenamiento de energía de un circuito en relación con su capacidad de disipación de energía. La definición de Q es energía máxima almacenada Q = 2 energía disipada por ciclo Multiplicando Q=oCR por /o, se obtiene De igual forma se multiplica Q=R/oL por o/ para obtener Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla en términos de Q y o como sigue C. R. Lindo Carrión

Por lo tanto, la magnitud es: y la fase es La tabla siguiente muestra la magnitud y fase de H a ciertas frecuencias.  1 o 2  |H| 1/2 1  90o 45o 0o -45o -90o C. R. Lindo Carrión

Hay dos frecuencia 1 y 2, que corresponden a H=1/2 Hay dos frecuencia 1 y 2, que corresponden a H=1/2. Examinando la ecuación de la magnitud H, se observa que H=1/2 se presenta cuando La ecuación anterior se puede reordenar en forma de una ecuación de cuarto grado, en función de . Despejando los valores de interés, se obtiene C. R. Lindo Carrión

El ancho de banda (B) del circuito se define como el intervalo que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia es 1/2. El ancho de banda de un circuito selectivo en frecuencia es el intervalo entre las frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae a 1/2 veces el valor máximo. Por tanto, Un circuito con una Q alta tendrá un ancho de banda angosto. Por ejemplo, si Q=100 y o=100Krad/s, entonces B=1Krad/s. La ecuación anterior ilustra que el ancho de banda es inversamente proporcional a Q. Por tanto, la selectividad de frecuencia del circuito esta determinada por el valor de Q. Un circuito de Q alta tiene un ancho de banda pequeño y, por consiguiente, el circuito es muy selectivo. C. R. Lindo Carrión

La manera que Q afecta la selectividad de la frecuencia de la red se muestra en la Figura 20. Puesto que los casos que interesan normalmente son aquellos donde Q>10, entonces (1/2Q)2«1 y las ecuaciones de 1 y 2, se reducen a C. R. Lindo Carrión

Cuando Q>10, la curva de magnitud tiene una simetría aritmética aproximada entorno a o, como se aprecia en la Figura 21. Independientemente de Q, la respuesta es simétrica en una escala logarítmica de frecuencia. C. R. Lindo Carrión

Usando «1 para pequeñas desviaciones de o, Para pequeñas desviaciones de frecuencias con respecto a o Q es relativamente alta y definimos  como donde  representa la cantidad proporcional por la que la frecuencia se desvía de o. Entonces podemos escribir el factor (/o - o/) en términos de  como Usando «1 para pequeñas desviaciones de o, Entonces H es que es una aproximación válida siempre que «1. C. R. Lindo Carrión

Resonancia Serie La ganancia de voltaje Vsal/Vf del circuito paralelo mostrado en la Figura 22 es De nuevo se observa que la relación carece de término imaginario cuando L=1/C y la frecuencia de resonancia es La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie se define como la frecuencia o a la cual la impedancia total se vuelve real (no reactiva). C. R. Lindo Carrión

Como antes, el ancho de banda del circuito es El factor de calidad Q para el circuito resonante en serie se define como Como antes, el ancho de banda del circuito es Multiplicando Q=oL/R por /o, se obtiene De igual forma se multiplica Q=1/oRC por o/ para obtener Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla en términos de Q y o como sigue C. R. Lindo Carrión

Note que esta ecuación es igual a la ecuación obtenida para el circuito resonante en paralelo. Sin embargo, nótese que la definición del factor de calidad para el circuito serie es diferente de la del circuito resonante paralelo. No obstante las demás relaciones para el ancho de banda, 2 , 1 y  son válidas para ambos circuitos. Ejemplo Considere la red que se muestra en la Figura 23. Determine la frecuencia de resonancia, el voltaje a través de cada elemento en resonancia y el valor del factor de calidad. C. R. Lindo Carrión

La frecuencia de resonancia es: Solución La frecuencia de resonancia es: A esta frecuencia de resonancia la corriente serie es: Por tanto los voltajes de cada elemento son: C. R. Lindo Carrión

El factor de calidad es: Es interesante notar que los voltajes a través de la bobina y del capacitor pueden escribirse en términos del Q como: C. R. Lindo Carrión

Primero determinamos la frecuencia de resonancia Ejemplo Un circuito resonante en serie tiene R=2, L=1mH, C=0.1F. Calcular o, B y Q y determinar la respuesta del circuito cuando =1.02o. Solución Primero determinamos la frecuencia de resonancia El factor de calida es: Por lo tanto el ancho de banda es: C. R. Lindo Carrión

Dado que Q=50, entonces Q=(50*0.02)=1, entonces H es: También se desea determinar la respuesta del circuito cuando =1.02o, es decir Dado que Q=50, entonces Q=(50*0.02)=1, entonces H es: La fase es: C. R. Lindo Carrión