Unidad I Análisis de CA en estado estable

Presentación del tema: "Unidad I Análisis de CA en estado estable"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad I Análisis de CA en estado estable
Conferencia 1 C. R. Lindo Carrión C. R. Lindo Carrión 1

2 Objetivos Describir una señal de corriente alterna a través de los parámetros que la definen. Representar adecuadamente una señal senoidal, de manera fasorial. Contenido 1.1 Introducción 1.2 Función Senoidal 1.3 Fasores 1.4 Relaciones fasoriales para los elementos de un circuito C. R. Lindo Carrión

3 1.1 Introducción En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales. De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos referimos normalmente a aquella que presenta una forma senoidal. Esto es así, porque presenta varias ventajas en cuanto a su distribución y transporte frente a la corriente continua, además es la forma en que los generadores de corriente alterna la dan. En Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de América es de 60 Hz. La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es la forma de onda dominante en la industria de potencia eléctrica. La señal presente en los tomacorrientes de c.a. en nuestra casa, oficina, laboratorios, etc., es senoidal. C. R. Lindo Carrión

4 Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal presenta las siguientes ventajas:
Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia. La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia. Admite una representación con vectores giratorios, denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo . Es por esta razón la necesidad de estudiar el comportamiento en estado estable de la función senoidal y esto condujo a los ingenieros a desarrollar los conceptos de fasor y de impedancia, que relacionan linealmente la corriente y el voltaje fasorial de un elemento del circuito. C. R. Lindo Carrión

5 En esta sección, estudiamos la respuesta forzada de estado estable de redes con funciones forzadas senoidales. Vamos a ignorar las condiciones iniciales y la respuesta transitoria o natural, que fue estudiada con anterioridad, y que finalmente desaparece en el tipo de circuitos que vamos a tratar. Nos referimos a esto como un análisis de c.a. en estado estable. 1.2 Función Senoidal La función forzada de onda senoidal es descrita por: x(ωt) = XMsenωt donde: x(t) puede representar v(t) ó i(t). XM es la amplitud o valor máximo  es la frecuencia angular t es el argumento de la función seno C. R. Lindo Carrión

6 La expresión general para una función seno puede ser descrita por:
x(t) = XMsen(ωt + θ) donde: ωt + θ es el argumento de la función seno θ es el ángulo de fase C. R. Lindo Carrión

7 sen( + β) = sen *cosβ + cos *senβ
Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, que nos servirán de alguna utilidad: sen( + β) = sen *cosβ + cos *senβ cos( + β) = cos *cosβ - sen *senβ sen( - β) = sen *cosβ - cos *senβ cos( - β) = cos *cosβ + sen *senβ cosωt = sen(ωt + π/2) senωt = cos(ωt - π/2) -cosωt = cos(ωt ± π/2) -senωt = sen(ωt ± π/2) Utilizando estas identidades trigonométricas, tratemos de expresar la expresión general del seno en otra forma: x(t) = XMsen(ωt + θ) x(t) = XM(senωt*cosθ + cosωt*senθ) x(t) = A senωt + B cosωt donde A = XMcosθ B = XMsenθ y Entonces C. R. Lindo Carrión

8 Por lo tanto Si aplicamos una función forzada senoidal a una red lineal, los voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán senoidales. Esto también se cumple (es decir, es válido) para la aplicación de las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes. Por ejemplo: si aplicamos un voltaje v(t) = Asen(ωt + θ), entonces esto producirá una corriente i(t) = Bsen(ωt + φ). Entonces podemos concluir que la solución conlleva en determinar los valores de los dos parámetros B y φ. A continuación encontremos la respuesta de estado estable de un circuito RL ante una función forzada senoidal. C. R. Lindo Carrión

9 Consideremos el circuito mostrado en la Figura 1.1
1.1.2 Respuesta de Estado Estable de un circuito RL a una función forzada senoidal: Consideremos el circuito mostrado en la Figura 1.1 Aplicando LKV a la malla existente, obtenemos: entonces i(t) será también senoidal: i(t) = Acos(ωt + φ) i(t) = Acosωt*cosφ - Asenωt*senφ) i(t) = A1cosωt – A2senωt C. R. Lindo Carrión

10 L(-A1ωsenωt -A2ωcosωt) +R(A1cosωt – A2senωt) = VMcosωt
donde A1 = Acosφ A2 = Asenφ Si ahora sustituimos i(t) obtenido, en la ecuación diferencial inicial, y aplicando su derivada, obtenemos: L(-A1ωsenωt -A2ωcosωt) +R(A1cosωt – A2senωt) = VMcosωt Ahora igualando término a término, ambos lados de la ecuación, obtenemos las siguientes, ecuaciones: -A1ωL - A2R = 0 -A2ωL + A1R = VM Resolviendo ambas ecuaciones, tenemos: C. R. Lindo Carrión

11 Así, la corriente i(t) será:
donde A y φ se determinan como: Entonces: C. R. Lindo Carrión

12 entonces el ángulo de fase φ es:
por lo tanto Así: luego para la fase φ entonces el ángulo de fase φ es: C. R. Lindo Carrión

13 por lo tanto la corriente i(t) será:
El análisis anterior nos indica que el ángulo de fase φ será cero si la bobina L = 0 y por lo tanto la corriente i(t) estará en fase con el voltaje v(t). Si por el contrario hacemos la Resistencia R = 0, el ángulo de fase φ valdrá 90º y así la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) en 90º. Si ambos componentes R y L están presentes, la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) por algún ángulo de fase φ entre 0o y 90º. C. R. Lindo Carrión

14 Respuesta a encontrar será:
Dejamos al estudiante, que proceda de similar forma para hacer el análisis del circuito RC mostrado en la Figura 1.2 Respuesta a encontrar será: donde θ = tan-1(ωRC). C. R. Lindo Carrión

15 ejωt = cosωt + jsenωt, donde R(ejωt) = cosωt y Im(ejωt) = senωt
Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito sencillo es trabajoso, puede imaginarse como será para una red más grande. Para evitar este método, vamos a establecer una correspondencia entre funciones senoidales temporales y números complejos. El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la ecuación de Euler. ejωt = cosωt + jsenωt, donde R(ejωt) = cosωt y Im(ejωt) = senωt Suponemos que seleccionamos como nuestra función forzante de voltaje: v(t) = VMejωt, entonces de la identidad trigonométrica se puede escribir: v(t) = VMcosωt + jVMsenωt, entonces la respuesta de corriente puede escribirse como: i(t) = IMcos(ωt + φ) + jIMsen(ωt + φ), que también puede ser escrito como: C. R. Lindo Carrión

16 1.2 Fasores i(t) = IMej(ωt + φ)
Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la función forzante VMcosωt y calcular la respuesta IMcos(ωt + φ), podemos aplicar la función forzante compleja VMejωt y calcular la respuesta IMej(ωt + φ), la parte real de ésta, es la respuesta deseada IMcos(ωt + φ) Aunque este procedimiento en principio parece ser más complicado, no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la ecuación diferencial en una ecuación algebraica que es mucho más fácil de resolver. 1.2 Fasores Cada vez que supongamos que la función forzante de una red lineal es la forma v(t) = VMejωt, podemos decir que todo voltaje o corriente de estado estable en la red tendrá la misma forma y la misma frecuencia ω, por ejemplo, una corriente i(t) será de la forma i(t) = IMej(ωt + φ). C. R. Lindo Carrión

17 v(t) = VMcosωt = Re[VMej(ωt + θ)] o como un número complejo,
Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, anotando simplemente la frecuencia y omitir el factor ejωt, ya que éste es común a todos los términos en las ecuaciones descritas. Esto quiere decir que todo voltaje o corriente puede describirse completamente mediante una magnitud y una fase. Por ejemplo, un voltaje v(t) puede escribirse en forma exponencial como: v(t) = VMcosωt = Re[VMej(ωt + θ)] o como un número complejo, v(t) = Re[VM|θ ejωt] Como estamos trabajando con una función forzante compleja cuya parte real es la respuesta deseada, y cada término en la ecuación contendrá ejωt, podemos entonces omitir Re[] y ejωt, y trabajar solo con el número complejo VM|θ. Esta representación compleja comúnmente se llama fasor. C. R. Lindo Carrión

18 Fasor: es una versión transformada de una onda senoidal de voltaje o corriente que consiste en la información de la magnitud y el ángulo de fase de la senoide. Como característica distintiva, los fasores, se escribirán en negritas. Por ejemplo un voltaje v(t) = VMcos(ωt + θ) se escribirá en notación fasorial como: V = VM|θ, una corriente i(t) = IMcos(ωt + φ), en notación fasorial se escribirá como I = IM|φ. De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, considerado anteriormente, C. R. Lindo Carrión

19 Al aplicar la LKV a la malla se obtiene la ecuación diferencial:
La función forzante utilizada será, con el fasor V = VM|0o, entonces la corriente será i(t) = Iejωt, con el fasor I = IM|φ. Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la ecuación diferencial, es la parte real de esta corriente. Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación diferencial, usando los fasores, C. R. Lindo Carrión

20 ahora efectuando la derivada tenemos:
como puede ser observado, el término ejωt, es un factor común, como fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, dejando los fasores, es decir, ahora despejando el fasor I, tendremos: así la corriente i(t) será: C. R. Lindo Carrión

21 la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente.
Representación fasorial Dominio de tiempo Dominio de frecuencia Acos(ωt ± θ) Asen(ωt ± θ) A|±θ A|±θ-90o Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) V e i(t) = 12sen(377t + 120º) A El voltaje v(t) como fasor será: V= 24|-45o V y la corriente i(t) como fasor será: I = 12|120o-90o = 12|30o A. Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: V= 16|20o V e I= 10|-75o A, con f = 1KHz. El voltaje será: v(t) = 16cos(2000t + 20º) V y la corriente será: i(t) = 10cos(2000πt - 75º) A, que también puede escribirse en términos de la función seno como: i(t) = 10sen(2000πt + 15º) A. C. R. Lindo Carrión

22 1.3 Relaciones fasoriales para elementos de circuitos
Para el caso de un Resistor: Aplicando la ley de Ohm para el circuito de la Figura 1.3, tenemos: v(t) = Ri(t) y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora eliminando el factor común ejωt, se tiene: que convertido en forma fasorial será: C. R. Lindo Carrión

23 como podemos observar θv = θi, lo que significa que la corriente y el voltaje para este circuito (es decir, en una Resistencia) están en fase, esto puede ser visto en la Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a) muestra el diagrama fasorial. C. R. Lindo Carrión

24 Para el caso de una Bobina:
Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.5, tenemos: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ejωt, se tiene: C. R. Lindo Carrión

25 que convertido en forma fasorial será:
que también podemos escribirla como: ya que como podemos observar θv = θi +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que el voltaje adelanta a la corriente por 90º o decir que la corriente esta atrasada del voltaje en 90º. esto puede ser visto en la Figura 1.6 (b), la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama fasorial. C. R. Lindo Carrión

26 Para el caso de un Capacitor:
Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.7, tenemos: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ejωt, se tiene: C. R. Lindo Carrión

27 que convertido en forma fasorial será:
que también podemos escribirla como: como podemos observar θi = θv +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que la corriente adelanta al voltaje por 90º o decir que el voltaje esta atrasado de la corriente en 90º, esto puede ser visto en la Figura 1.8 (b), la Figura 1.8 (a) muestra el diagrama fasorial. C. R. Lindo Carrión

28 así i(t) será: i(t) = 4cos(377t + 75º) A
Ejemplo 1.3.1 Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 24cos(377t + 75º) V y R = 6Ω. Solución Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 24|75o V y aplicando la ley de Ohm, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 4cos(377t + 75º) A C. R. Lindo Carrión

29 así i(t) será: i(t) = 1.59cos(377t - 70º) A
Ejemplo 1.3.2 Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 12cos(377t + 20º) V y L = 20mH. Solución Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 12|20o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 1.59cos(377t - 70º) A C. R. Lindo Carrión

30 así i(t) será: i(t) = 3.77cos(377t + 105º) A
Ejemplo 1.3.3 Para el circuito mostrado en la figura, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 100cos(377t + 15º) V y C = 100µF. Solución Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 100|15o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 3.77cos(377t + 105º) A C. R. Lindo Carrión