Binomial Poisson Hipergeométrico Modelos Discretos X: V.a del Número de ******* Binomial Poisson Hipergeométrico Modelos Continuos X: Variables de medición Algunas distribuciones de variable aleatoria continua: Distribución Normal Distribución Chi-Cuadrada Distribución t de Student Distribución F de Snedecor León Darío Bello P. Ldbello@guajiros.udea.edu.co

DISTRIBUCION BINOMIAL Cada experimento tiene uno de dos posibles resultados excluyentes EXITO Probabilidad de Éxito=P FRACASO Probabilidad de Fracaso=q=1-p V.A.X=“Número de éxitos en n repeticiones independientes del suceso” Posibles valores de la V.A.X:0,1,2,...,n Parámetros: n,p Características El experimento se realiza un número fijo de pruebas Las probabilidades tanto de éxito como de fracaso son constantes. La ocurrencia de los sucesos son independientes. León Darío Bello P. Ldbello@guajiros.udea.edu.co

DISTRIBUCION BINOMIAL PARAMETROS Media o esperanza matemática = n*p Varianza = n*p*q Desviación Típica = n*p* q La probabilidad de tener un incidente en el lugar de trabajo es de 0.15, si se seleccionan 10 operarios. Cuál es la probabilidad de que: a) Ninguno tenga un incidente, b) sólo uno tenga el problema, c) más de 2 tengan incidentes, d) al menos uno haya tenido la dificultad. e) cuál es el valor esperado y su desviación. León Darío Bello P. Ldbello@guajiros.udea.edu.co

ensayos independientes entre si Sea un acontecimiento A = presencia de una enfermedad Este acontecimiento define una variable x que puede asumir 2 valores Enfermo (éxito) mutuamente excluyentes Sano (fracaso) complementarios Espacio muestral Sanos ensayos independientes entre si Enfermos la prevalencia de la enfermedad es   p (E) =  0.30 la probabilidad de estar sano es    p(S) = q (E) = 1 - 0.30= 0.70 Al tomar 1 individuo al azar ( n = 1) ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? 0.30 Es el valor esperado mx = p

DISTRIBUCION BINOMIAL Sea x el número de éxitos obtenidos en n repeticiones de ensayos (independientes entre si) de Bernouilli con p constante Para que ocurran  x éxitos en n ensayos, deben ocurrir también (n-x) fracasos con probabilidad 1-p = q (también constante) La probabilidad de obtener en un orden dado, x éxitos y (n-x) fracasos , por aplicación de la regla de multiplicación de acontecimientos independientes , es igual a  pxqn-x x veces n-x veces Un mismo resultado puede ser obtenido de diferentes formas FUNCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

n = 4 p (E)= 0.30 p(S) = q (E) = 0.70 EEES, EESE, ESEE, SEEE Ejemplo:  Si la prevalencia de una enfermedad es   p =  0.30. ¿Cuál será la probabilidad de encontrar en 4 animales tomados al azar, 3 enfermos?                n = 4 p (E)= 0.30 p(S) = q (E) = 0.70 Las diferentes formas de encontrar 3 enfermos( E )serán: EEES, EESE, ESEE, SEEE que es lo mismo  

DISTRIBUCION DE POISSON Es una variable aleatoria discreta, en la cual nos interesa determinar la probabilidad de de ocurrencias del N° de sucesos o eventos por unidad de medida, que puede ser: intervalo de tiempo, espacio o volumen. Parámetro:  N° promedio de sucesos por unidad de medida el promedio es proporcional a la unidad de medida. FUNCION DE DISTRIBUCION  NOTA: Un problema cuya variable aleatoria cumple las características de la distribución BINOMIAL se puede resolver, aproximadamente, por medio de una distribución de POISSON siempre y cuando n (grande), p0 y np5 (pequeño y fijo).

Gráfica de la Distribución Normal μ - 4σ f(x) x μ - 3σ μ - 2σ μ - σ μ + 2σ μ μ + σ μ + 3σ μ + 4σ f(z) 68% z -3 -2 -1 1 2 3

Características de la distribución normal Valores continuos Simétrica Unimodal Acampanada Moda  Media  Mediana Aproximadamente el 99% de las observaciones se encuentra a más o menos 3 desviaciones estándar de la media. León Darío Bello P. Ldbello@guajiros.udea.edu.co

Estandarización Si X ~ N(μ, σ 2) entonces: tiene distribución normal estándar. Este resultado permite usar la tabla de la distribución normal estándar para buscar áreas de cualquier distribución normal. León Darío Bello P. Ldbello@guajiros.udea.edu.co

Si el nivel total de colesterol en personas de cierta localidad tiene una distribución aproximadamente normal con media de 200 mg/100 ml y una varianza de 400, calcular la probabilidad de que un individuo, elegido aleatoriamente de esa población, tenga un nivel de colesterol: Entre 180 y 200 mg/100 ml. b) Mayor que 225 mg/100 ml. c) Menor que 150 mg/100 Ejemplo León Darío Bello P. Ldbello@guajiros.udea.edu.co

DISTRIBUCION t DE STUDENT Características. En general cumple las mismas características de la distribución Normal. El valor critico de t es mayor que el de z. Presenta mayor variabilidad en las colas. Entra el concepto de grados de libertad (v=n-1) Cuando n<30, usamos la tabla de la distribución t en lugar de la normal.