XXXIV Olimpiada Matemática SAEM Thales Fase Provincial, 10 de marzo de 2018 Fase Regional, Granada del 9 al 12 de mayo de 2018
Problema 5: Adivina la edad En Acertijolandia no hay forma de que te contesten de forma directa a lo que les preguntas, y siempre responden con un acertijo. El otro día le pregunté al jardinero de mi bloque por la edad de sus dos hijos y me dijo lo siguiente: “A finales del año pasado (2017), la edad de cada uno de ellos coincidía con la suma de las cifras de su año de nacimiento. Debes saber que mis hijos no son mellizos ni gemelos”. Encuentra de forma razonada las edades de los hijos del jardinero. Resolución
Resolución Podemos pensar que los hijos del jardinero nacieron en este siglo o en el anterior. Si hubiesen nacido en el siglo pasado su año de nacimiento sería 19xy, donde x e y son las cifras de las decenas y las unidades del año respectivamente. Para poder trabajar de forma adecuada con esa cifra la expresaríamos en su descomposición polinómica: 19xy = 1000 + 900 + 10x + y = 1900 + 10x + y En el año 2017 su edad sería: 2017 – (1900 + 10x + y) = 117 – 10x – y Enunciado
Resolución Como esta edad coincide con la suma de las cifras del año de nacimiento nos quedaría la ecuación: 117 – 10x – y = 1 + 9 + x + y De donde: 11x + 2y = 107 Esta ecuación exige que x e y sean números naturales entre 0 y 9, por lo que la única solución válida sería: x = 9 y = 4 Uno de los hijos habría nacido en 1994, con lo que la edad al acabar 2017 sería de 2017 – 1994 = 23 años. Enunciado
Resolución El otro debe haber nacido en este siglo por lo que el año de nacimiento sería: 20xy = 2000 + 10x + y En este caso la ecuación quedaría: 2017 – (2000 + 10x + y) = 2 + x + y de donde 17 – 10x – y = 2 + x + y Que simplificada resulta: 11x + 2y = 15 Aquí la única solución factible sería: x = 1 e y = 2 Por lo que el año de nacimiento sería el 2012 y la edad sería 5 años. Enunciado
Resumiendo Enunciado Resolución Así pues, las edades de los hijos del jardinero serían: -- 23 años el que nació en 1994 y -- 5 años el que nació en 2012 Enunciado
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